Selbstähnlichkeit

Für selbstähnliche Mengen, die aus ${\displaystyle N}$ um den Faktor ${\displaystyle \varepsilon <1}$ verkleinerten Versionen ihrer selbst bestehen, ist die Ähnlichkeitsdimension

${\displaystyle D=-{\frac {\log N}{\log \varepsilon }}}$

definiert. Man beachte, dass man hier keinen Grenzwert braucht.

Ein Quadrat besteht aus 4 Quadraten (${\displaystyle N=4}$) der halben (${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}}$) Seitenlänge und hat damit die Ähnlichkeitsdimension ${\displaystyle D=-{\frac {\log 4}{\log {\tfrac {1}{2}}}}=-{\frac {\log 2^{2}}{\log 2^{-1}}}=-{\frac {2\cdot \log 2}{-\log 2}}=2}$.

Das Sierpinski-Dreieck besteht aus ${\displaystyle N=3}$ um den Faktor ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}}$ verkleinerten Kopien seiner selbst. Seine Ähnlichkeits-Dimension ist ${\displaystyle {\frac {\log(3)}{\log(2)}}\approx 1{,}585}$.[3]

Die Koch-Kurve besteht aus ${\displaystyle N=4}$ um den Faktor ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}}}$ verkleinerten Kopien ihrer selbst. Ihre Ähnlichkeits-Dimension ist ${\displaystyle {\frac {\log(4)}{\log(3)}}\approx 1{,}262}$.[4]

Aber schon ein Kreis besteht nicht aus verkleinerten Kreisen, und die Ähnlichkeitsdimension ist nicht definiert. Die fraktale Dimension vieler bekannter Fraktale lässt sich aber damit bestimmen. Aufgrund der fehlenden Grenzwertbildung ist die Ähnlichkeitsdimension besonders einfach und ist deshalb oft die einzige für Laien verständliche fraktale Dimension. Diese Methode der Dimensionsberechnung drängt sich insbesondere auch bei IFS-Fraktalen auf.