Sektorformel von Leibniz

Sei ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} mit ${\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t))}$ eine glatte Kurve, dann überstreicht ihr mit dem Ursprung gebildeter Fahrstrahl den orientierten Flächeninhalt ${\displaystyle F}$ der folgenden Größe:

${\displaystyle F(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}(x(t)y^{\prime }(t)-y(t)x^{\prime }(t))dt}$

Ist ${\displaystyle \gamma }$ eine stückweise glatte Kurve auf ${\displaystyle [a,b]}$ und ${\displaystyle \{t_{0},\ldots ,t_{n}\}}$ eine Partition von ${\displaystyle [a,b]}$, so dass ${\displaystyle \gamma }$ auf den Teilintervallen ${\displaystyle [t_{k-1},t_{k}]}$ für ${\displaystyle k=1,\ldots n}$ glatt ist, so gilt:

${\displaystyle F(\gamma )=F(\gamma _{1})+\ldots +F(\gamma _{n})}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \gamma _{k}}$ die auf das Intervall ${\displaystyle [t_{k-1},t_{k}]}$ beschränkte Kurve.

Dreieck als stückweise glatte Kurve

Man kann die Sektorformel als eine Verallgemeinerung der Determinantenformel zur Berechnung des Flächeninhaltes von Dreiecken auffassen. Sind ${\displaystyle A=(x_{1},y_{1})}$, ${\displaystyle B=(x_{2},y_{2})}$, ${\displaystyle C=(x_{3},y_{3})}$ die Eckpunkte eines beliebigen Dreiecks, dann wird dieses durch die folgende stückweise glatte Kurve ${\displaystyle [0,3]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ beschrieben:

${\displaystyle \gamma (t):={\begin{cases}\gamma _{a}(t)=(x_{1}+(x_{2}-x_{1})t,\,y_{1}+(y_{2}-y_{1})t)&{\text{falls }}0\leq t\leq 1\\\gamma _{b}(t)=(x_{2}+(x_{3}-x_{2})(t-1),\,y_{2}+(y_{3}-y_{2})(t-1))&{\text{falls }}1\leq t\leq 2\\\gamma _{c}(t)=(x_{3}+(x_{1}-x_{3})(t-2),\,y_{3}+(y_{1}-y_{3})(t-2))&{\text{falls }}2\leq t\leq 3\end{cases}}}$

Dann gilt nun für die Flächenberechnung des Dreiecks:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\triangle )&={\frac {1}{2}}\left|{\begin{matrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{2}}[(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})+(x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3})+(x_{3}y_{1}-y_{3}x_{1})]\\&=\quad {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}[(x_{1}+(x_{2}-x_{1})t)(y_{2}-y_{1})-(y_{1}+(y_{2}-y_{1})t)(x_{2}-x_{1})]dt\\&\quad +{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}[(x_{2}+(x_{3}-x_{2})(t-1))(y_{3}-y_{2})-(y_{2}+(y_{3}-y_{2})(t-1))(x_{3}-x_{2})]dt\\&\quad +{\frac {1}{2}}\int _{2}^{3}[(x_{3}+(x_{1}-x_{3})(t-2))(y_{1}-y_{3})-(y_{3}+(y_{1}-y_{3})(t-2))(x_{1}-x_{3})]dt\\&=F(\gamma _{a})+F(\gamma _{b})+F(\gamma _{c})\\&=F(\gamma )\end{aligned}}}$

Für den Fall einer geschlossenen Kurve ergibt sich die Sektorformel von Leibniz auch als Spezialfall des Integralsatzes von Green. Der Integralsatz liefert für die von einer Kurve ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} mit ${\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}$ eingeschlossene Fläche ${\displaystyle B}$ und zwei differenzierbare Funktionen ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$ die folgende Gleichung:

${\displaystyle \int _{B}{\Bigl [}g_{x}(x,y)-f_{y}(x,y){\Bigr ]}dxdy=\int _{a}^{b}{\Bigl [}f{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\cdot x^{\prime }(t)+g{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\cdot y^{\prime }(t){\Bigr ]}dt}$

Wählt man für die dortigen Funktionen ${\displaystyle f(x,y)=-y}$ und ${\displaystyle g(x,y)=x}$, so gilt ${\displaystyle f_{y}(x,y)=-1}$ und ${\displaystyle g_{x}(x,y)=1}$ und man erhält:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{B}(1-(-1))dxdy=\int _{a}^{b}{\Bigl [}-y(t)\cdot x^{\prime }(t)+x(t)\cdot y^{\prime }(t){\Bigr ]}dt\\\Leftrightarrow &\int _{B}1dxdy={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\Bigl [}x(t)\cdot y^{\prime }(t)-y(t)\cdot x^{\prime }(t){\Bigr ]}dt\end{aligned}}}$

Da die Integration über eine Fläche mit 1 den Flächeninhalt selbst liefert, gilt:

${\displaystyle F(\gamma )=\int _{B}1dxdy={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\Bigl [}x(t)\cdot y^{\prime }(t)-y(t)\cdot x^{\prime }(t){\Bigr ]}dt}$.

Alternative Formel

In der Literatur wird gelegentlich auch eine weitere Formel als Sektorformel von Leibniz bezeichnet. Diese ist wesentlich spezieller und verwendet statt Koordinatenfunktionen ${\displaystyle x(t)}$ und ${\displaystyle y(t)}$ der Parameterkurve ${\displaystyle \gamma (t)}$ eine Funktion ${\displaystyle r(t)}$, die den Abstand eines Kurvenpunktes vom Zentrum einer sternförmigen Menge ${\displaystyle B}$ beschreibt. Mit dieser gilt dann:

${\displaystyle F(B)={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r(t)^{2}\ dt}$

Da diese Formel im Gegensatz zur vorherigen keinen orientierten Flächeninhalt verwendet, ist sie nur für sternförmige Mengen gültig. Ist ${\displaystyle (x_{z},y_{z})}$ ein Zentrum der sternförmigen Menge, so lässt sich r(t) mittels der Beziehung ${\displaystyle r(t)={\sqrt {(x(t)-x_{z})^{2}+(y(t)-y_{z})^{2}}}}$ aus den Koordinatenfunktionen der Parameterkurve berechnen.

Eine Herzkurve ${\displaystyle \gamma$ :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} besitzt die folgende Parameterdarstellung:

${\displaystyle x=a\cos(t)(1+\cos(t))\qquad y=a\sin(t)(1+\cos(t))}$

Mit der Sektorformel ergibt sich dann der folgende Flächeninhalt:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\gamma )&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}a\cos(t)(1+\cos(t))a(\cos(t)+2\cos(t)^{2}-1)+a\sin(t)(1+2\cos(t))a\sin(t)(1+\cos(t)){\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {3}{2}}a^{2}\pi \end{aligned}}}$

Herzkurve

Bei der Verwendung der alternativen Formel kann man ${\displaystyle (0,0)}$ als Zentrum wählen und erhält dann:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\gamma )&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}{\bigl (}a\cos(t)(1+\cos(t)){\bigr )}^{2}+{\bigl (}a\sin(t)(1+\cos(t)){\bigr )}^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}(\cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}){\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {3}{2}}a^{2}\pi \end{aligned}}}$

• Konrad Königsberger: Analysis 1. 2-te Auflage, Springer 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 343
• Wolfgang Walter: Analysis I. 2-te Auflage, Springer 1985, ISBN 3-540-51708-1, S. 285–286
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 5-te Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 498

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• J. Weikert: Kurven und Bogenlänge (PDF; 595 kB). In Mathematik für Informatiker I, Skript Uni Saarland
• Mehrdimensionale Integralrechnung. In Höhere Mathematik II (Uni-Skript)