Kettenlinie (Mathematik)

Die Berechnung der Kettenlinie ist ein klassisches Problem der Variationsrechnung. Man denkt sich ein Seil von gewisser Masse und Länge, das an seinen Enden aufgehängt ist. Die Seilkurve ist das Ergebnis der kleinstmöglichen potentiellen Energie des Seils. Das versucht man rechnerisch nachzuvollziehen.

Dazu benötigt man den mathematischen Ausdruck für die potentielle Energie. Er ist eine Verfeinerung des bekannten „Gewicht mal Höhe“ ${\displaystyle mgh}$. Die Verfeinerung besteht darin, dass die Energie für „alle Teile“ des Seils getrennt ausgewertet und zum Schluss summiert wird. Das ist notwendig, weil die Teile des Seils sich auf unterschiedlichen Höhen befinden. Die gedankliche Zerlegung des Seils in immer kleinere Teile macht aus der Summe ein Integral. Die Höhe ${\displaystyle h}$ aus ${\displaystyle mgh}$ wird durch die gesuchte Funktion ${\displaystyle y(x)}$ ersetzt, die Masse ${\displaystyle m}$ durch die Masse ${\displaystyle \mathrm {d} m}$ des Seilstücks über dem Intervall ${\displaystyle [x,x+\mathrm {d} x]}$; nach Pythagoras ist dies:

${\displaystyle \mathrm {d} m=\mu {\sqrt {(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}}=\mu {\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\mu {\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x}$

wobei ${\displaystyle \mu }$ die Masse je Meter ist. Wenn das Seil an den Stellen ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ aufgehängt ist, ergibt sich demnach die Energie („Gewicht mal Höhe“) als

${\displaystyle E=\mu g\,\int _{x_{1}}^{x_{2}}\mathrm {d} x\;y\,{\sqrt {1+y'^{2}}}}$

Eine ähnliche Überlegung führt auf den Ausdruck für die Länge des Seils:

${\displaystyle l=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\mathrm {d} x{\sqrt {1+y'^{2}}}}$

Die Energie ist zu minimieren, die Länge ist jedoch vorgegeben. Man bringt dies unter einen Hut durch einen Lagrange-Multiplikator ${\displaystyle \mu gy_{0}}$, das heißt, man minimiert nun den Ausdruck

${\displaystyle E\,-\,\mu gy_{0}\,l=\mu g\,\int _{x_{1}}^{x_{2}}\mathrm {d} x\,{\sqrt {1+y'^{2}}}\,(y\,-y_{0})}$

Die Variation ergibt die Differentialgleichung (Euler-Lagrange-Gleichung):

${\displaystyle (y-y_{0})\,y''\,-\,y'^{2}\,=\,1}$

Interessanterweise sind in diesem Schritt sowohl die Massengröße ${\displaystyle \mu }$ als auch die Schwerebeschleunigung ${\displaystyle g}$ herausgefallen. Ein schweres Seil nimmt somit dieselbe Form an wie ein leichtes, und auf dem Mond ergibt sich trotz anderer Fallbeschleunigung dieselbe Form wie auf der Erde.

Die Lösungen der Gleichung sind die Funktionen

${\displaystyle y(x)\,=\,a\cdot \cosh \left({\frac {x-x_{0}}{a}}\right)+y_{0}}$

Es handelt sich um vergrößerte und verschobene Cosinus-hyperbolicus-Funktionen. ${\displaystyle a}$ ist der Krümmungsradius im Scheitelpunkt (siehe Abbildung) und zugleich der Vergrößerungsfaktor. ${\displaystyle x_{0}}$ ist die Verschiebung in ${\displaystyle x}$-Richtung, ${\displaystyle y_{0}}$ die Verschiebung in ${\displaystyle y}$-Richtung.

Die konkrete Form, die das Seil letztendlich annimmt, errechnet man, indem man ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle y_{0}}$ und ${\displaystyle a}$ so anpasst, dass die Kurve durch die Aufhängepunkte geht und die vorgegebene Länge ${\displaystyle l}$ hat.

Bei einem Gewichtstück, welches über zwei Halteseile S₁ und S₂ mit den Steigungen t₁ und t₂ an insgesamt zwei Säulen aufgehängt ist, werden die Kräfte an den Seilen durch ein Kräfteparallelogramm mit der Haltekraft F_H als Diagonale beschrieben. Der Vektor der Haltekraft F_H bildet zum Vektor der Gewichtskraft F_G den betragsgleichen Gegenvektor. Das Parallelogramm wird durch den Haltekraftvektor in zwei zueinander kongruente Dreiecke aufgeteilt. Mit dem Sinussatz können die Beträge der zwei Zugkräfte an den Seilen F_S1 und F_S2 berechnet werden:

${\displaystyle |{\vec {F}}_{S1}|=|{\vec {F}}_{G}|\sin[{\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan(t_{2})]\csc[\arctan(t_{2})-\arctan(t_{1})]}$

${\displaystyle |{\vec {F}}_{S2}|=|{\vec {F}}_{G}|\sin[{\tfrac {1}{2}}\pi +\arctan(t_{1})]\csc[\arctan(t_{2})-\arctan(t_{1})]}$

Bei zwei gleich schweren Gewichtstücken, welche jeweils mit einem Halteseil an ihre zugehörige Säule aufgehängt und mit einem anderen gemeinsamen Halteseil S_M zueinander verknüpft sind, gilt wegen des Kräftegleichgewichts im mittleren gemeinsamen Seil folgende Gesetzmäßigkeit:

${\displaystyle |{\vec {F}}_{G}|\sin[{\tfrac {1}{2}}\pi +\arctan(t_{L})]\csc[\arctan(t_{M})-\arctan(t_{L})]=|{\vec {F}}_{G}|\sin[{\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan(t_{R})]\csc[\arctan(t_{R})-\arctan(t_{M})]}$

${\displaystyle \sin[{\tfrac {1}{2}}\pi +\arctan(t_{L})]\sin[\arctan(t_{R})-\arctan(t_{M})]=\sin[{\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan(t_{R})]\sin[\arctan(t_{M})-\arctan(t_{L})]}$

${\displaystyle {\frac {t_{R}-t_{M}}{\sqrt {(t_{L}^{2}+1)(t_{M}^{2}+1)(t_{R}^{2}+1)}}}={\frac {t_{M}-t_{L}}{\sqrt {(t_{L}^{2}+1)(t_{M}^{2}+1)(t_{R}^{2}+1)}}}}$

${\displaystyle t_{R}-t_{M}=t_{M}-t_{L}}$

Dabei ist t_L die Steigung vom Seil S_L, t_M ist die Steigung vom Seil S_M und t_R ist die Steigung vom Seil S_R.

Bei einer Kette aus insgesamt m Seilen und m - 1 gleich schweren Gewichtstücken zwischen den Seilen hat die Differenz von der Steigung eines Seils minus die Steigung des vorgängerischen Seils immer denselben Wert:

${\displaystyle t_{2}-t_{1}=t_{3}-t_{2}=t_{n+1}-t_{n}\operatorname {\,mit\,allen} \,n\in \mathbb {N} \leq m-1}$

Durch die Gleichsetzung aller Seillängen und die Annäherung der Seillängen gegen Null entwickelt sich als Grenzwert m gegen Unendlich die Kette zu einer idealen Kettenkurve. Somit ist bei einer idealen Kettenkurve die Steigung der Kurve linear zur Kurvenlänge. Die Steigung ist also direkt proportional zum Bogenmaß angesetzt am relativen Minimum der Kurve. Diejenige Funktion, welche in ihrem Graph diese direkte Proportionalität zwischen Kurvensteigung und Kurvenlänge aufweist, ist der Cosinus Hyperbolicus. Bei folgender Differentialgleichung wird die Kurvenlänge als Integral des pythagoräischen Nachfolgers der Ableitung und die Steigung als Ableitung selbst angegeben:

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {{\bigl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}y(x)(x=w){\bigr ]}^{2}+1}}\,\mathrm {d} w=a\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}y(x)}$

${\displaystyle y(x)=a\cosh[(x-x_{0})/a]+y_{0}}$

Ist die Kettenkurve als Gleichung ${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}$ gegeben und verläuft sie durch die Aufhängepunkte ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ und ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, dann gilt für die Höhendifferenz ${\displaystyle v}$ der Punkte:

${\displaystyle v:=y_{2}-y_{1}=a\cosh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\cosh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)}$

und für die Länge ${\displaystyle l}$ zwischen den Aufhängepunkten der Kettenkurve gilt:

${\displaystyle l=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}\mathrm {d} x=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\right)^{2}}}\mathrm {d} x=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\left({\frac {x}{a}}\right)}}\mathrm {d} x=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\mathrm {d} x=a\sinh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\sinh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)}$

Für die Herleitung wurden die Ableitungsfunktion und Stammfunktion von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus und die Gleichung ${\displaystyle \cosh ^{2}x\!\;-\sinh ^{2}x=1}$ verwendet. Aus den zwei hergeleiteten Gleichungen und dem Additionstheoremen ${\displaystyle \cosh \left(x-y\right)=\cosh(x)\cosh(y)-\sinh(x)\sinh(y)}$ und ${\displaystyle \cosh \left(2x\right)=2\sinh ^{2}\left(x\right)+1}$ folgt:

${\displaystyle l^{2}-v^{2}=\left(a\sinh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\sinh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\right)^{2}-\left(a\cosh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\cosh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\right)^{2}=2a^{2}\left(\cosh \left({\frac {x_{2}-x_{1}}{a}}\right)-1\right)=4a^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {x_{2}-x_{1}}{2a}}\right)}$

Als Beispiel sei ein zwischen zwei Pfosten (Abstand ${\displaystyle w}$) aufgehängtes Seil der Länge ${\displaystyle l}$ gegeben (siehe Abbildung). Die Pfosten sind gleich hoch und befinden sich bei ${\displaystyle x=-{\tfrac {w}{2}}}$ und ${\displaystyle x=+{\tfrac {w}{2}}}$, es gilt also ${\displaystyle x_{0}=0}$.

Um den Krümmungsradius ${\displaystyle a}$ zu berechnen, schreiben wir die Seillänge ${\displaystyle l}$ als Funktion von ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle l=\int _{-w/2}^{w/2}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x=2a\,\sinh \left({\frac {w}{2a}}\right)}$.

Diese Beziehung legt ${\displaystyle a}$ in Abhängigkeit von ${\displaystyle w}$ und ${\displaystyle l}$ eindeutig fest. Da man keinen geschlossenen Ausdruck für ${\displaystyle a}$ angeben kann, muss der Wert mit einem numerischen Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen approximativ berechnet werden.

Sind jedoch ${\displaystyle h}$ und ${\displaystyle l}$ gegeben, können ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle w}$ wie folgt geschlossen dargestellt werden.
Wird das Quadrat aus der Gleichung (oben) ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}l=a\cdot \sinh \left({\frac {{\frac {1}{2}}w}{a}}\right)}$ vom Quadrat aus der (unten erwähnten) Gleichung ${\displaystyle \textstyle h+a=a\cdot \cosh \left({\frac {{\frac {1}{2}}w}{a}}\right)}$ subtrahiert, dann ergibt die mit der Differenz entstehende Gleichung ${\displaystyle \textstyle a^{2}\cdot \overbrace {\left(\cosh ^{2}\left({\frac {{\frac {1}{2}}w}{a}}\right)-\sinh ^{2}\left({\frac {{\frac {1}{2}}w}{a}}\right)\right)} ^{1}=(h+a)^{2}-\left({\frac {1}{2}}l\right)^{2}}$, woraus ${\displaystyle w}$ wegen ${\displaystyle \cosh ^{2}(\xi )-\sinh ^{2}(\xi )=1}$ eliminiert und nach ${\displaystyle \textstyle a={\frac {1}{2}}h\cdot \left(\left({\frac {{\frac {1}{2}}l}{h}}\right)^{2}-1\right)}$ umgestellt werden kann.
Einsetzen dieses ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle w=2a\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {{\frac {1}{2}}l}{a}}\right)}$ und Umformungen ergeben den gesuchten Ausdruck für den Abstand in geschlossener Form z. B.

${\displaystyle \textstyle w=2h\cdot \left(\left({\frac {l}{2h}}\right)^{2}-1\right)\cdot \operatorname {artanh} \left({\frac {2h}{l}}\right)}$

oder

${\displaystyle \textstyle l=2h\cdot \left(\left({\frac {w}{2h}}\right)^{2}+1\right)\cdot \operatorname {tanh} \left({\frac {2h}{w}}\right)}$.

Zuletzt liest man aus der Abbildung die Bedingung ${\displaystyle y({\tfrac {w}{2}})=0}$ ab, aus der man ${\displaystyle y_{0}}$ erhält. Des Weiteren gelten die Beziehungen

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {b}{a}}&=\cosh \left({\frac {w}{2a}}\right)\\b&=h+a,\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle h}$ der „Durchhang“ ist.

Die potentielle Energie dieses Systems beträgt

${\displaystyle E=-{\frac {\mu g}{2}}(l\,b-w\,a)}$.

Genauer ist dies die Energiedifferenz gegenüber dem Fall, dass sich das Seil komplett auf der Höhe der Aufhängepunkte (${\displaystyle y=0}$) befindet.

Symmetrisch aufgehängtes Seil mit Umlenkrolle

Mit Hilfe der Energie kann man die Kraft ${\displaystyle F}$ in den Aufhängepunkten berechnen. Hierzu stellt man sich vor, dass das Seil in einem Aufhängepunkt über eine Umlenkrolle läuft, die die Kraft in horizontale Richtung umlenkt. Um das Seil wie abgebildet um eine sehr kleine Strecke ${\displaystyle ds}$ hinauszuziehen, muss man die Energie ${\displaystyle dE=Fds}$ aufwenden. Diese kann man berechnen und erhält so die Kraft ${\displaystyle F={\tfrac {dE}{ds}}}$. Zur Berechnung von ${\displaystyle dE}$ vergleicht man die Energie des ursprünglichen Seils mit der des um ${\displaystyle ds}$ verkürzten Seiles. Das Ergebnis ist überraschend einfach, nämlich

${\displaystyle F=\mu gb=\mu g(h+a)={\frac {mg}{2}}\coth \left({\frac {w}{2a}}\right)}$

mit ${\displaystyle m=\mu \,l}$. Dieselbe Formel kann man auch auf Teilstücke des Seils anwenden. Da die Teilstücke alle denselben Krümmungsradius ${\displaystyle a}$ haben, aber für kleine Teilstücke (unten im Tal) der Durchhang ${\displaystyle h}$ vernachlässigbar wird, besteht im Tal des Seiles die Seilspannung ${\displaystyle \mu ga}$.

Stellt man die Pfosten nah beisammen, dann dominiert der Durchhang ${\displaystyle h}$, der dann recht genau die halbe Seillänge ist. Die Kraft ist dann erwartungsgemäß die halbe Gewichtskraft des Seiles, ${\displaystyle {\tfrac {mg}{2}}}$ (man beachte, dass zwei Aufhängepunkte sich die Last teilen).

Die Formel zeigt auch, wie die Kraft bei zunehmender Seilspannung die halbe Gewichtskraft um den Faktor ${\displaystyle \coth({\tfrac {w}{2a}})}$ übersteigt. Der Faktor ist praktisch 1 für sehr kleine Krümmungsradien ${\displaystyle a}$, aber ungefähr ${\displaystyle {\tfrac {2a}{w}}}$ oder auch ${\displaystyle {\tfrac {2a}{l}}}$ für sehr große Krümmungsradien.

Im Alltag beträgt der Faktor etwa 2 bis 4. Im Aufhängepunkt wirkt dann das ganze oder doppelte Gewicht des Seiles.

Für ${\displaystyle a}$ = 100 m und einen Mastabstand ${\displaystyle w}$ von 200 m (also Spezialfall ${\displaystyle w/2=a}$) wird ein 2·117,5 m langes Seil benötigt: ${\displaystyle l/2=a\cdot \sinh(1)}$. Der Durchhang beträgt 54 m. Für ein Stahlseil mit 100 cm² Querschnitt wiegt eine Seilhälfte 9,2 t. Die entsprechende Gewichtskraft von 9·10⁴ N ist die vertikale Kraft an einer Aufhängung. Die horizontale Kraft an einer Aufhängung beträgt 7,7·10⁴ N.

Beträgt ${\displaystyle a}$ etwa 20,2 % der gesamten Breite ${\displaystyle w}$, so ist der Durchhang ${\displaystyle y(x=w/2)}$ gleich der Breite ${\displaystyle w}$ (quadratförmige Gesamtabmessungen). Dieser Fall liegt beispielsweise vor beim Gateway Arch (siehe unten im Abschnitt Architektur), der 630 Fuß breit und ebenso hoch ist. Die exakte Formel

${\displaystyle y=-127{,}7\;\mathrm {ft} \cdot \cosh({x/127{,}7\;\mathrm {ft} })+757{,}7\;\mathrm {ft} }$

mit a = 127,7 Fuß und w/2 = 315 Fuß ist im Inneren des Denkmals ausgestellt. Gleichwohl bildet das Bauwerk aufgrund der variierenden Bogenstärke streng genommen keine Kettenlinie.

Zwei Säulen der Höhen g = 1 m und h = 2 m stehen in einem Abstand von d = 3 m voneinander entfernt.

Zwischen ihnen wird eine Kette der Länge k = 4 m aufgehängt.

Quadratische Parabel (rot) als Näherungskurve der Kettenlinie im Scheitelbereich

Joachim Junge wies 1639 nach, dass die Kettenlinie keine Parabel ist. Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens und Johann I Bernoulli fanden 1690/91 heraus, wie die Kettenkurve zu bilden ist.[1] Wenn man die Reihenentwicklung der Kettenlinie betrachtet, erkennt man, dass es sich dabei um eine unendliche Summe von Termen ganzrationaler Funktionen geradzahligen Grades handelt:

${\displaystyle {a}\cosh({\frac {x}{a}})=a\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!a^{2n}}}={1+{\frac {x^{2}}{2a}}}+{\frac {x^{4}}{24a^{3}}}+{\frac {x^{6}}{720a^{5}}}+\dots }$

Für hinreichend kleine Beträge von ${\displaystyle x}$ kann man die Reihe nach dem zweiten Glied abbrechen und erhält dann als Näherungskurve im Bereich des Scheitelpunktes eine quadratische Parabel, die indes (außer im Scheitelpunkt selbst) immer „unterhalb“ der eigentlichen Kettenlinie liegt, d. h. zu kleine Werte liefert.

Eine quadratische Parabel stellt sich hingegen ein bei einer gleichmäßig über die Spannweite ${\displaystyle x}$ verteilten Streckenlast, z. B. einer Hängebrücke, sofern das Gewicht der Seile gegenüber dem der Fahrbahn vernachlässigt werden kann. (Wenn diese letztere Bedingung nicht erfüllt ist und also die Tragseile einen wesentlichen Teil des Gesamtgewichts ausmachen, ist die Berechnung der Seilkurve in Form einer geschlossenen Funktion nicht möglich.).

Die Abbildung rechts vergleicht den Kurvenverlauf einer Kettenlinie (rot) mit dem einer Normalparabel (grün).

r(x)=cosh(x)-1 (Kettenlinie), g(x)=x² (Parabel), m(x)=r(x)/g(x), c(x)=g(x)/r(x)

m(0)=1/2, c(0)=2: Der unbestimmte Ausdruck 0/0 ist in diesem Fall 1/2 bzw. 2.

Die durch Rotation der Kettenlinie um die x-Achse erzeugte Rotationsfläche wird als Katenoid bezeichnet und ist neben der Ebene die einzige Rotationsfläche, die auch eine Minimalfläche ist: Katenoide sind statisch gesehen als ideale Dachformen für Rundtürme anzusehen, da sie sich (theoretisch) selbst tragen.
Hält man zwei Ringe nebeneinander und taucht sie in eine Seifenlösung, um sie mit einer Seifenhaut zu überziehen, so bildet sich ein Katenoid zwischen den Ringen aus.

Die Kettenlinie ist die Evolute zu der Traktrix (Schleppkurve).