Kreiswinkel

Insbesondere der Umfangswinkelsatz lässt sich nicht selten für geometrische Konstruktionen verwenden. In vielen Fällen sucht man die Menge (den geometrischen Ort) aller Punkte ${\displaystyle P}$, von denen aus eine gegebene Strecke (hier ${\displaystyle {\overline {AB}}}$) unter einem bestimmten Winkel erscheint. Die gesuchte Punktmenge besteht im Allgemeinen aus zwei Kreisbögen, den sogenannten Fasskreisbögen (Bild 1).

Bekanntlich ist bei einem Dreieck der anliegende Außenwinkel stets so groß, wie sie Summe seiner nicht anliegenden Innenwinkel.[1] Auf Grund dessen gilt:

Liegt der Punkt ${\displaystyle C}$ des Dreiecks ${\displaystyle ACP}$ innerhalb des Fasskreisbogens, so ist der Winkel ${\displaystyle \gamma }$ gleich ${\displaystyle \alpha +\beta }$ (Bild 2 mit Beispiel ${\displaystyle \alpha =60^{\circ }}$). Liegt dagegen der Punkt ${\displaystyle C}$ des Dreiecks ${\displaystyle APC}$ außerhalb des Fasskreisbogens, so ist der Winkel ${\displaystyle \alpha }$ gleich ${\displaystyle \beta +\gamma }$ (Bild 3 mit Beispiel ${\displaystyle \alpha =60^{\circ }}$).[1]

Bild 1: Skizze zum Fasskreisbogenpaar

Bild 2: Ist Punkt ${\displaystyle C}$ innerhalb des Fasskreisbogens, dann ${\displaystyle \gamma >\alpha }$

Bild 3: Ist Punkt ${\displaystyle C}$ außererhalb des Fasskreisbogens, dann ${\displaystyle \gamma <\alpha }$

Der Beweis des nachfolgenden Anwendungsbeispiels beruht auf einer mehrfachen Anwendung des Umfangswinkelsatzes (Bild 4):

Bild 5: Skizze zum Anwendungsbeispiel (Spezialfall)

Bild 4: Skizze zum Anwendungsbeispiel

Gegeben seien drei Geraden ${\displaystyle g_{1}}$, ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$, die sich im Punkt ${\displaystyle S}$ schneiden. Von einem Punkt ${\displaystyle P\neq S}$ werden jeweils die Lote auf ${\displaystyle g_{1}}$, ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$ gefällt.

Dann stimmen die Innenwinkelweiten des entstandenen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ mit den Schnittwinkelweiten der drei Geraden überein.

Beweis:

Betrachtet wird der Thaleskreis ${\displaystyle k}$ über der Strecke ${\displaystyle {\overline {PS}}}$ mit verschiedenen Peripheriewinkeln.

• Die Winkel ${\displaystyle \angle BAC}$ und ${\displaystyle \angle BSC}$ sind Umfangswinkel über dem zur Sehne ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ gehörigen (kleineren) Kreisbogen und haben deshalb dieselbe Weite ${\displaystyle \alpha }$.
• Die Winkel ${\displaystyle \angle ACB}$ und ${\displaystyle \angle ASB}$ sind Umfangswinkel über dem zur Sehne ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ gehörigen (kleineren) Kreisbogen und haben deshalb dieselbe Weite ${\displaystyle \gamma }$.
• Die Winkel ${\displaystyle \angle g_{1}g_{3}}$ und ${\displaystyle \angle CBA}$ haben wegen ${\displaystyle \beta =180^{\circ }-\alpha -\gamma }$ dieselbe Weite ${\displaystyle \beta }$.

Damit ist die Aussage bewiesen.

Für den Spezialfall, dass die drei Geraden sich im Punkt ${\displaystyle S}$ unter einem Winkel von jeweils ${\displaystyle 60^{\circ }}$ schneiden, ergibt sich mit ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma }$ als unmittelbare Folgerung (Bild 5):

Gegeben seien drei Geraden ${\displaystyle g_{1}}$, ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$, die sich im Punkt ${\displaystyle S}$ unter einem Winkel von jeweils ${\displaystyle 60^{\circ }}$ schneiden. Von einem Punkt ${\displaystyle P\neq S}$ werden jeweils die Lote auf ${\displaystyle g_{1}}$, ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$ gefällt.

Dann ist das Dreieck ${\displaystyle ABC}$ gleichseitig.[2]

Der Kreiswinkelsatz eignet sich auch als Konstruktionsbaustein zur Lösung z. B. folgender Aufgaben:

• Zeichne ein Vierzigeck, bei dem die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ gegeben ist.

Hierfür wird zuerst der Umkreis eines Zehnecks mit nur einer Seitenlänge ${\displaystyle a}$ konstruiert und anschließend zweimal hintereinander der Kreiswinkelsatz angewendet.

• Die Dreiteilung des Winkels mithilfe der Hyperbel; bereits im 4. Jhdt. nutzte Pappos für deren Lösung die Eigenschaften dieses Satzes (Bild 1).
• Es ist aus einer vorgegebenen Seitenlänge ${\displaystyle a}$ ein Polygon zu konstruieren, das die doppelte Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat (Bild 2).
• Es ist aus einer vorgegebenen Seitenlänge ${\displaystyle a}$ ein Polygon zu konstruieren, das die halbe Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat (Bild 3).

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  Bild 1: Kreiswinkelsatz
  Ansatz für die Dreiteilung eines beliebigen Winkels. Durch den Punkt ${\displaystyle C}$ verläuft später der rechte Ast der Hyperbel.
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  Bild 2: Kreiswinkelsatz
  Konstruktion eines Polygons bei gegebener Seitenlänge ${\displaystyle a}$, das die doppelte Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat.
  Beispiel:
  Die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des gesuchten Zwanzigecks (blau) ist gleich der des vorgegebenen Zehnecks.
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  Bild 3: Kreiswinkelsatz
  Konstruktion eines Polygons bei gegebener Seitenlänge ${\displaystyle a}$, das die halbe Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat. Darin ist ${\displaystyle Ms}$ die Mittelsenkrechte von ${\displaystyle {\overline {AM}}.}$
  Beispiel:
  Die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des gesuchten Zehnecks (blau) ist gleich der des vorgegebenen Zwanzigecks.