Sechseckszahl

Sechseckszahlen lassen sich als Sechseck auslegen, wie folgende Abbildung zeigt:

Die ${\displaystyle n}$-te Sechseckszahl bezeichnet man teilweise mit ${\displaystyle S_{n}}$. Sie lässt sich auch mit Hilfe der ${\displaystyle (n-1)}$-ten Dreieckszahl ${\displaystyle \Delta _{n-1}}$ berechnen.

${\displaystyle S_{n}=n+4\cdot \Delta _{n-1}}$

Jede Zahl lässt sich nach dem fermatschen Polygonalzahlensatz als Summe von sechs Sechseckszahlen darstellen. Adrien-Marie Legendre bewies 1830, dass jede Zahl, die größer als 1792 ist, sogar als Summe von nur vier Sechseckszahlen geschrieben werden kann.[1] Unter den kleineren Zahlen gibt es 13 Zahlen, die nicht Summe vierer Sechseckszahlen sind:

5, 10, 11, 20, 25, 26, 38, 39, 54, 65, 70, 114, 130 (Folge A007527 in OEIS).

Davon sind 11 und 26 die einzigen Zahlen, die nicht als Summe von fünf Sechseckszahlen dargestellt werden können.[2]

Die Summe der ersten ${\displaystyle k}$ Sechseckszahlen ist

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}S_{i}={\frac {4k^{3}+3k^{2}-k}{6}}}$

die ${\displaystyle k}$-te sechseckige Pyramidalzahl

Die Summe der Kehrwerte aller Sechseckszahlen ist

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{S_{k}}^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2\cdot k^{2}-k}}=2\ln {(2)}}$

1. Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume 2: Diophantine Analysis. Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 18
2. Eric W. Weisstein: Hexagonal Number. In: MathWorld (englisch).