Schwartz-Raum (allgemein)

Ein lokalkonvexer Raum ${\displaystyle E}$ heißt ein Schwartz-Raum, wenn es zu jedem normierten Raum ${\displaystyle F}$ und jedem stetigen linearen Operator ${\displaystyle A\colon E\rightarrow F}$ eine Nullumgebung ${\displaystyle V\subset E}$ gibt, so dass das Bild ${\displaystyle A(V)}$ präkompakt ist.

Dies ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem Banachraum ${\displaystyle F}$ und jedem stetigen linearen Operator ${\displaystyle A:E\rightarrow F}$ eine Nullumgebung ${\displaystyle V\subset E}$ gibt, so dass ${\displaystyle {\overline {A(V)}}}$ kompakt ist.

Eine innere Charakterisierung lautet:

Ein lokalkonvexer Raum ${\displaystyle E}$ ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn es zu jeder Nullumgebung ${\displaystyle U\subset E}$ eine Nullumgebung ${\displaystyle V\subset E}$ gibt, so dass man zu jedem ${\displaystyle \epsilon >0}$ endlich viele Punkte ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in E}$ mit ${\displaystyle \textstyle V\subset \bigcup _{j=1}^{n}(x_{j}+\epsilon U)}$ finden kann.

Weiter lassen sich Schwartz-Räume über die stetigen Halbnormen charakterisieren. Eine Halbnorm ${\displaystyle p}$ auf einem lokalkonvexen Raum ${\displaystyle E}$ heißt präkompakt, falls es eine Nullfolge ${\displaystyle (\zeta _{n})_{n}}$ in ${\displaystyle \mathbb {K} }$ und eine gleichstetige Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ im starken Dualraum ${\displaystyle E\,'}$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle x\in E}$ die Ungleichung ${\displaystyle \textstyle p(x)\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }|\zeta _{n}f_{n}(x)|}$ gilt. (Dabei heißt die Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ gleichstetig, wenn es eine stetige Halbnorm ${\displaystyle q}$ auf ${\displaystyle E}$ gibt mit ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq q(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in E}$ und ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$.)

Präkompakte Halbnormen sind stetig, denn mit obigen Bezeichnungen erhält man die Abschätzung ${\displaystyle \textstyle p(x)\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }|\zeta _{n}f_{n}(x)|\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }|\zeta _{n}|\cdot q(x)}$. Die Umkehrung ist im Allgemeinen nicht richtig, sie stellt vielmehr eine Charakterisierung der Schwartz-Räume dar, denn es gilt:

Ein lokalkonvexer Raum ${\displaystyle E}$ ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn jede stetige Halbnorm präkompakt ist.

• Unter den normierten Räumen sind genau die endlich-dimensionalen Räume Schwartz-Räume.
• Jeder vollständige nukleare Raum ist ein Schwartz-Raum.
• Sei ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathbb {R} }^{n})}$ der Raum aller Funktionen ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }}$, für die alle Suprema ${\displaystyle \textstyle p_{k,m}(f):=\sup _{|\alpha |\leq k}\sup _{x\in {\mathbb {R} }^{n}}|(1+|x|^{2})^{m}D^{\alpha }f(x)|}$ endlich sind. Dabei wurde von der Multiindex-Schreibweise Gebrauch gemacht. Der Raum ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathbb {R} }^{n})}$ mit den Halbnormen ${\displaystyle \{p_{k,m};\,k,m\in {\mathbb {N} }_{0}\}}$ heißt Raum der schnell fallenden Funktionen. Er ist ein Schwartz-Raum und wird manchmal auch als der Schwartz-Raum bezeichnet.
• Jede Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n}\in \ell ^{1}}$ definiert durch die Festlegung ${\displaystyle \textstyle (x_{n})_{n}\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x_{n}}$ ein lineares Funktional auf dem Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ der beschränkten Folgen. Diesen Raum versehe man mit der feinsten lokalkonvexen Topologie, so dass der Dualraum bzgl. dieser Identifikation mit ${\displaystyle \ell ^{1}}$ zusammenfällt. Nach dem Satz von Mackey-Arens gibt es eine solche Topologie, die Mackey-Topologie ${\displaystyle \tau (\ell ^{\infty },\ell ^{1})}$. Der lokalkonvexe Raum ${\displaystyle (\ell ^{\infty },\tau (\ell ^{\infty },\ell ^{1}))}$ ist ein vollständiger Schwartz-Raum, der nicht nuklear ist.

• Unterräume und Quotientenräume nach abgeschlossenen Unterräumen von Schwartz-Räumen sind wieder Schwartz-Räume.
• Beliebige Produkte von Schwartz-Räumen sind wieder Schwartz-Räume.
• Vollständige quasitonnelierte Schwartz-Räume sind Montel-Räume. Es gibt aber Fréchet-Montel-Räume, die keine Schwartz-Räume sind.
• Ein lokalkonvexer Raum ${\displaystyle E}$ ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn es eine Menge ${\displaystyle I}$ gibt, so dass ${\displaystyle E}$ topologisch isomorph zu einem Unterraum von ${\displaystyle (\ell ^{\infty },\tau (\ell ^{\infty },\ell ^{1}))^{I}}$ ist. In diesem Sinne ist ${\displaystyle (\ell ^{\infty },\tau (\ell ^{\infty },\ell ^{1}))}$ ein universeller Schwartz-Raum.

Vollständige Schwartz-Räume haben besondere Eigenschaften und lassen weitere Charakterisierungen zu. Ist ${\displaystyle p}$ eine stetige Halbnorm auf dem lokalkonvexen Raum ${\displaystyle E}$, so ist ${\displaystyle N_{p}:=\{x\in E;p(x)=0\}}$ ein abgeschlossener Unterraum von ${\displaystyle E}$ und durch ${\displaystyle \|x+N_{p}\|_{p}:=p(x)}$ wird eine Norm auf dem Faktorraum ${\displaystyle E_{p}:=E/N_{p}}$ erklärt. Die Vervollständigung dieses normierten Raums wird mit ${\displaystyle B_{p}}$ bezeichnet. Ist ${\displaystyle q}$ eine weitere stetige Halbnorm mit ${\displaystyle p\leq q}$, so definiert ${\displaystyle x+N_{q}\mapsto x+N_{p}}$ einen stetigen linearen Operator ${\displaystyle E_{q}\rightarrow E_{p}}$, der sich stetig zu einem linearen Operator ${\displaystyle \kappa _{qp}:B_{q}\rightarrow B_{p}}$ fortsetzen lässt. Die ${\displaystyle B_{p}}$ heißen die lokalen Banachräume und die Operatoren ${\displaystyle \kappa _{qp}}$ heißen kanonische Abbildungen von ${\displaystyle E}$. Mit diesen Begriffen können vollständige Schwartz-Räume wie folgt charakterisiert werden:

Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann ein vollständiger Schwartz-Raum, wenn es zu jeder stetigen Halbnorm ${\displaystyle p}$ eine weitere stetige Halbnorm ${\displaystyle q\geq p}$ gibt, so dass die kanonische Abbildung ${\displaystyle \kappa _{qp}:B_{q}\rightarrow B_{p}}$ ein kompakter Operator ist.

Es genügt natürlich, sich auf ein gerichtetes System erzeugender Halbnormen zu beschränken.

In vollständigen Schwartz-Räumen gilt der Satz von Bolzano-Weierstraß, das heißt, eine Menge ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume. Lecture Notes in Mathematics 56, 1968.
• H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces. Springer, 1971.
• H. Jarchow: Locally Convex Spaces. Teubner, Stuttgart 1981.
• Yau-Chuen Wong: Introductory Theory of Topological Vector Spaces. Marcel Dekker Ltd., 1992.
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992. ISBN 3-528-07262-8