Schwartz-Raum

Eine Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} }$ heißt Schwartz-Funktion oder schnell-fallend, wenn sie beliebig oft stetig differenzierbar ist, und wenn für alle Multiindizes ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ die Funktion ${\displaystyle x^{\alpha }D^{\beta }f(x)}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ beschränkt ist, wobei ${\displaystyle D^{\beta }}$ die ${\displaystyle \beta }$-te Ableitung kennzeichnet.

Der Vektorraum aller Schwartz-Funktionen heißt Schwartz-Raum und wird mit ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ bezeichnet. In aller Kürze gilt also

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\;&{\overset {}{:=}}\;\left\{\phi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\,{\Big |}\,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}:\;\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }\phi (x)|<\infty \;\right\}\\[.4em]&=\left\{\phi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\,{\Big |}\,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n},\,\exists C\geq 0,\,\forall x\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x^{\alpha }D^{\beta }\phi (x)|\leq C\;\right\}\,.\end{aligned}}}$

Der Schwartz-Raum ist ein metrisierbarer lokalkonvexer Raum, welcher durch die Familie von Halbnormen

${\displaystyle \left\|f\right\|_{N}=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\max _{|\alpha |,\,|\beta |<N}|x^{\alpha }D^{\beta }f(x)|}$

induziert wird.

• Die Funktionen ${\displaystyle \exp(-a\left\|x\right\|^{2})}$ sind für ${\displaystyle a>0}$ Schwartz-Funktionen auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• Jede beliebig oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger ist eine Schwartz-Funktion. Der Vektorraum der Testfunktionen mit kompaktem Träger ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\cong {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist also ein echter Teilraum des Schwartz-Raums.
• Die hermiteschen Funktionen sind ebenfalls Schwartz-Funktionen.

• Der Schwartz-Raum ist vollständig bezüglich der Topologie (beziehungsweise der Metrik), die durch die Familie der Halbnormen ${\displaystyle (\|\cdot \|_{N})_{N}}$ induziert wird, und ist somit ein Fréchet-Raum. Er hat auch die Montel-Eigenschaft.
• Die Fouriertransformation bildet einen linearen Automorphismus auf dem Schwartz-Raum.
• Wie bei den Beispielen erwähnt ist der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger ein Unterraum des Schwartz-Raums. Dieser liegt sogar dicht im Schwartz-Raum.[1]
• Der Schwartz-Raum ist separabel.
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ für ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$.
• Für ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ liegt der Schwartz-Raum ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ dicht im Raum der p-integrierbaren Funktionen ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n}).}$[1]
• Mithilfe dieses Dichtheitsargumentes kann man die Fourier-Transformation auf dem Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ definieren.

Eine stetige, lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow \mathbb {C} }$ heißt temperierte Distribution. Die Menge aller temperierten Distributionen wird mit ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ bezeichnet. Dies ist der topologische Dualraum zu ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$.

• Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).

1. Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operators. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 10–11.