Kernsatz von Schwartz

Mit jeder Funktion ${\displaystyle K\in C(X_{1}\times X_{2})}$ kann man einen Integraloperator ${\displaystyle A:C_{c}(X_{2})\to C(X_{1})}$ durch

${\displaystyle A(\phi )(x_{1})=\int _{X_{2}}K(x_{1},x_{2})\phi (x_{2})\mathrm {d} x_{2}}$

definieren. Das Symbol ${\displaystyle C_{c}}$ bezeichnet die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Außerdem gilt die Identität

${\displaystyle \langle A(\phi ),\psi \rangle =K(\psi \otimes \phi )}$

für alle ${\displaystyle \psi \in C_{c}^{\infty }(X_{1})}$ und ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(X_{2})}$, wobei ${\displaystyle K(\psi \otimes \phi )}$ hier als ${\displaystyle L^{2}}$-Skalarprodukt zu verstehen und das Tensorprodukt zweier Funktionen durch

${\displaystyle (\psi \otimes \phi )(x_{1},x_{2}):=\psi (x_{1})\phi (x_{2}).}$

definiert ist. Im Folgenden soll diese Idee auf die Distributionentheorie erweitert werden. Sei dazu also ${\displaystyle K\in {\mathcal {D}}'(X_{1}\times X_{2})}$ und ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(X_{2})}$. Außerdem darf ${\displaystyle A(\phi )}$ wieder eine Distribution sein.

Jede Distribution ${\displaystyle K\in {\mathcal {D}}'(X_{1}\times X_{2})}$ definiert eine lineare Abbildung ${\displaystyle A:C_{c}^{\infty }(X_{2})\to {\mathcal {D}}'(X_{1})}$, welche der Identität

${\displaystyle \langle A(\phi ),\psi \rangle =K(\psi \otimes \phi )}$

genügt und bezüglich der schwach-*-Topologie stetig ist. Das heißt, falls ${\displaystyle \phi _{j}\to 0}$ ein Nullfolge ist, so ist auch ${\displaystyle A(\phi _{j})\to 0}$ eine Nullfolge in ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(X_{1}).}$

Umgekehrt gibt es zu jeder linearen Abbildung ${\displaystyle A:C_{c}^{\infty }(X_{2})\to {\mathcal {D}}'(X_{1})}$ genau eine Distribution ${\displaystyle K}$, so dass ${\displaystyle \langle A(\phi ),\psi \rangle =K(\psi \otimes \phi )}$ gilt.

Diese Distribution ${\displaystyle K}$ heißt Schwartz-Kern.

• Der Identitätsoperator ${\displaystyle I:C_{c}^{\infty }(X)\to C_{c}^{\infty }(X)}$ besitzt als Schwartz-Kern das Dirac-Delta ${\displaystyle K(x,y)=\delta (x-y)}$.

• Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).