Schwache Topologie

Gegeben sei ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum ${\displaystyle (X,\tau _{0})}$ wie beispielsweise ein normierter Raum, versehen mit der Normtopologie. Sei ${\displaystyle X'}$ der Dualraum von ${\displaystyle X}$.

Die schwache Topologie lässt sich auf zweierlei äquivalente Arten definieren: entweder als Initialtopologie oder über die Angabe einer Nullumgebungsbasis.

Über den Zugang als Initialtopologie ist die schwache Topologie ${\displaystyle \tau _{w}}$ auf ${\displaystyle X}$ als die Initialtopologie auf ${\displaystyle X}$ bezüglich ${\displaystyle X'}$ definiert.[2] Sie ist somit die gröbste Topologie auf ${\displaystyle X}$, so dass alle ${\displaystyle x'\in X'}$ stetig sind. Als Initialtopologie besitzt sie die Subbasis

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{w}:=\{{x'}^{-1}(O)\mid O\subset \mathbb {K} {\text{ offen }},\;x'\in X'\}}$

und wird durch diese eindeutig bestimmt.

Für den Zugang mittels einer Nullumgebungsbasis definiert man

${\displaystyle U_{F,\varepsilon }=\{x\in X\mid x'(x)\leq \varepsilon {\text{ für alle }}x'\in F\}}$,

wobei hier ${\displaystyle F\subset X'}$ ist. Die schwache Topologie ist dann diejenige Topologie auf ${\displaystyle X}$ mit der Nullumgebungsbasis

${\displaystyle {\mathcal {U}}_{0}=\{U_{F,\varepsilon }\mid F\subset X',\;|F|{\text{ endlich }},\varepsilon >0\}}$

und wird durch diese eindeutig bestimmt.[3]

Je nach Definition werden die offenen Mengen in der schwachen Topologie anders konstruiert.

Bei der Konstruktion als Initialtopologie bildet man zuerst die bei der Definition angegebene Subbasis ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{w}}$ der schwachen Topologie. Sie besteht aus Urbildern von offenen Mengen in ${\displaystyle \mathbb {K} }$ unter den Elementen von ${\displaystyle X'}$. Alle Mengen in ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{w}}$ sind offen in der schwachen Topologie. Anschließend bildet man die Menge aller Schnitte von endlich vielen Mengen aus der Subbasis ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{w}}$:

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{w}:=\{A\subset X\mid A{\text{ ist Schnitt endlich vieler Mengen aus }}{\mathcal {S}}_{w}\}}$.

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{w}}$ bildet dann eine Basis der schwachen Topologie und alle Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{w}}$ sind dann offen bezüglich der schwachen Topologie. Die schwache Topologie selbst besteht dann aus allen Mengen, die eine Vereinigung von (beliebig vielen) Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{w}}$ sind.

Bei der Konstruktion über die Nullumgebungsbasis nutzt man aus, dass eine Menge genau dann offen ist, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist. Somit gilt dann

${\displaystyle A}$ ist offen in der schwachen Topologie ${\displaystyle \iff }$ für alle ${\displaystyle x\in A}$ existiert ein ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}_{0}}$, so dass ${\displaystyle x+U\subset A}$ ist.

Dies nutzt einerseits aus, dass eine Menge genau dann eine Umgebung eines Punktes ${\displaystyle x}$ ist, wenn sie eine Menge der Umgebungsbasis ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}}$ von ${\displaystyle x}$ enthält, und dass die Umgebungsbasis ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}}$ von ${\displaystyle x}$ im Falle der schwachen Topologie genau ${\displaystyle x+{\mathcal {U}}_{0}}$ entspricht.

• Die schwache Topologie macht ${\displaystyle X}$ zu einem lokalkonvexen Raum.
• Die abgeschlossene Einheitskugel von ${\displaystyle X}$ ist genau dann schwach kompakt, wenn ${\displaystyle X}$ ein reflexiver Banachraum ist.
• In lokalkonvexen topologischen Vektorräumen sind abgeschlossene und konvexe Teilmengen schwach abgeschlossen.
• Der Satz von Eberlein–Šmulian stellt die Äquivalenz von Kompaktheit und Folgenkompaktheit bzgl. der schwachen Topologie auf Banachräumen fest.

Zur genaueren Abgrenzung von der schwachen Topologie ${\displaystyle \tau _{w}}$ wird die Topologie ${\displaystyle \tau _{0}}$ auch als Ausgangstopologie[4] bezeichnet, im Falle eines normierten Raumes auch als Originaltopologie, starke Topologie oder Normtopologie.[5]

Mengen aus der schwachen Topologie werden mit dem Präfix "schwach" gekennzeichnet. So heißt eine Menge

• schwach abgeschlossen, wenn sie das Komplement einer Menge in der schwachen Topologie ist.
• schwach kompakt, wenn zu jeder Überdeckung mit Mengen aus der schwachen Topologie eine endliche Teilüberdeckung existiert.

Ebenso ist der schwache Abschluss einer Menge ${\displaystyle A}$ die kleinste schwach abgeschlossene Menge, die ${\displaystyle A}$ enthält. Die weitere Benennung folgt diesem Schema.

• Beschränkte schwach-*-Topologie
• Produkttopologie
• Schwach-*-Topologie
• Starke Operatortopologie

• M.I. Voitsekhovskii: weak topology. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
• Eric W. Weisstein: Weak Topology. In: MathWorld (englisch).

• Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Distributionen – lokalkonvexe Methoden – Spektraltheorie. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37793-8, doi:10.1007/978-3-642-37794-5.
• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21016-7, doi:10.1007/978-3-642-21017-4.
• Manfred Dobrowolski: Angewandte Funktionalanalysis. Funktionalanalysis, Sobolev-Räume und elliptische Differentialgleichungen. 2., korrigierte und überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-15268-9, doi:10.1007/978-3-642-15269-6.

1. Werner: Funktionalanalysis. 2011, S. 405.
2. Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. 2014, S. 150.
3. Werner: Funktionalanalysis. 2011, S. 410–411.
4. Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. 2014, S. 175.
5. Dobrowolski: Angewandte Funktionalanalysis. 2010, S. 55.