Schwache Konvergenz in L^p

Die schwache Konvergenz in ${\mathcal {L}}^{p}$ und die schwache Konvergenz in $L^{p}$ sind zwei eng miteinander verwandte Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen aus der Maßtheorie. Sie sind ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis für Folgen in L^p-Räumen. Zu beachten ist, dass es in der Maßtheorie und der Stochastik mehrere verschiedene Konzepte von schwacher Konvergenz gibt, diese sollten nicht miteinander verwechselt werden. In Abgrenzung zur schwachen Konvergenz in ${\mathcal {L}}^{p}$ oder $L^{p}$ wird die Norm-Konvergenz, also die Konvergenz im p-ten Mittel dann auch als starke Konvergenz in ${\mathcal {L}}^{p}$ oder $L^{p}$ bezeichnet.

Definition

Gegeben sei ein Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ sowie $p\in [1,\infty )$ und $q:={\tfrac {1}{1-1/p}}$ , also ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ mit ${\tfrac {1}{\infty }}=0$ , der zu $p$ konjugierte Index. Außerdem seien $f,(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aus ${\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ , kurz ${\mathcal {L}}^{p}$ , dem Raum der p-fach integrierbaren Funktionen. Die Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ heißt schwach konvergent gegen $f$ , wenn für alle $g\in {\mathcal {L}}^{q}$ gilt, dass

\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}g\mathrm {d} \mu =\int _{X}fg\mathrm {d} \mu

ist. Analog definiert man die schwache Konvergenz von Funktionen aus $L^{p}$ . Man schreibt dann in beiden Fällen $f_{n}\rightharpoonup f$ .

Einordnung

In der Funktionalanalysis versteht man unter schwacher Konvergenz Folgendes: Ausgehend von einem normierten Vektorraum $V$ bildet man den topologischen Dualraum

V':=\{T\;|\;T\colon V\to \mathbb {K} {\text{ ist linear und stetig }}\}

.

Eine Folge $(x_{n})_{n\in N}$ in $V$ heißt dann schwach konvergent gegen $x\in V$ , wenn

\lim _{n\to \infty }T(x_{n})=T(x){\text{ für alle }}T\in V'

ist. Betrachtet man nun als normierten Vektorraum den ${\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ für $p=(1,\infty )$ , so ist der Dualraum normisomorph zum ${\mathcal {L}}^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ (siehe auch Dualität von Lp-Räumen), wobei $q$ der zu $p$ konjugierte Index ist, also ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ . Jedes Element aus dem Dualraum ist dann von der Form

T_{g}(\cdot )=\int g\cdot \mathrm {d} \mu {\text{ für ein }}g\in {\mathcal {L}}^{q}

.

Somit ist eine Folge von $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {L}}^{p}$ schwach konvergent in $L^{p}$ , wenn

\lim _{n\to \infty }T_{g}(f_{n})=T_{g}(f)

für alle $g\in {\mathcal {L}}^{q}$ , was der oben angegebenen Definition entspricht. Die schwache Konvergenz in ${\mathcal {L}}^{p}$ ist somit ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis und auch ein Standardbeispiel für ebendiese.

Eindeutigkeit

Der Grenzwert einer schwach konvergenten Folge in ${\mathcal {L}}^{p}$ ist nur bis auf eine $\mu$ -Nullmenge eindeutig bestimmt. Das bedeutet, dass wenn die Funktionenfolge schwach gegen $f$ und schwach gegen $g$ konvergiert folgt, dass $f=g$ $\mu$ -fast überall ist.

Dementsprechend ist der Grenzwert bei der schwachen Konvergenz in $L^{p}$ aufgrund der Unempfindlichkeit gegenüber Nullmengen eindeutig bestimmt.

Beziehung zu anderen Konvergenzbegriffen

Konvergenz lokal nach Maß

Aus der Konvergenz lokal nach Maß folgt für $p\in (1,\infty )$ unter Umständen die schwache Konvergenz. Konvergiert eine Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aus ${\mathcal {L}}^{p}$ gegen $f\in {\mathcal {L}}^{p}$ lokal nach Maß und ist die Folge reeller Zahlen $(\|f_{n}\|_{p})_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt, so konvergiert die Folge auch schwach gegen $f$ .

Für $p=1$ ist diese Aussage im Allgemeinen nicht richtig, wie folgendes Beispiel zeigt: Betrachtet man den Maßraum $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),\lambda |_{[0,1]})$ , so konvergiert die Folge

f_{n}=n\chi _{[0,1/n]}

lokal nach Maß gegen 0 und es ist $\|f_{n}\|_{1}=1$ für alle $n$ . Aber für die konstante Funktion $g=1$ aus ${\mathcal {L}}^{\infty }$ ist dann

\int _{X}f_{n}g\mathrm {d} \lambda =1

.

Somit konvergiert die Folge nicht schwach gegen 0.

Konvergenz im p-ten Mittel

Jede im p-ten Mittel konvergente Folge konvergiert für $p\in [1,\infty )$ auch schwach, denn aus der Hölder-Ungleichung folgt

\left|\int _{X}f_{n}g\mathrm {d} \mu -\int _{X}fg\mathrm {d} \mu \right|\leq \|f_{n}-f\|_{p}\|g\|_{q}

,

somit existiert eine konvergente Majorante. Die Grenzwerte stimmen dann überein. Der Satz von Radon-Riesz liefert unter einer Voraussetzung auch die Umkehrung. Er besagt, dass für $p\in (1,\infty )$ eine Funktionenfolge genau dann im p-ten Mittel konvergiert, wenn sie schwach konvergiert und die Folge der Normen der Funktionenfolge gegen die Norm der Grenzfunktion konvergiert.

Literatur

Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.

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Schwache Konvergenz in Lp