Schraublinie (Darstellende Geometrie)

Man kann sich eine Schraublinie als eine Kurve auf einem senkrechten Kreiszylinder vorstellen, die in jedem Punkt dieselbe Steigung gegenüber der Ebene des Basiskreises hat. Ist die Zylinderachse die ${\displaystyle z}$-Achse und beginnt die Kurve im Punkt ${\displaystyle (r,0,0)}$, so lässt sich die Schraublinie durch die Parameterdarstellung

• ${\displaystyle (r\cos t,r\sin t,ct)\ ,\ c\neq 0}$

beschreiben. Dabei ist ${\displaystyle r}$ der Radius des Zylinders und ${\displaystyle c}$ der Schraubparameter.

Für ${\displaystyle c>0}$ nennt man die Schraublinie rechtsgängig,

für ${\displaystyle c<0}$ linksgängig.

(Für ${\displaystyle c=0}$ ist die Kurve ein Kreis.)

Tangenten einer Schraublinie

Den Höhenunterschied, den ein Kurvenpunkt durch Veränderung des Parameters ${\displaystyle t}$ um ${\displaystyle 2\;\pi }$ überwindet, ist

• die Ganghöhe ${\displaystyle h=c2\pi }$.
• Die Steigung (der Tangens des Steigungswinkels) der Kurve (d. h. der Tangente) gegenüber der ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene ist konstant ${\displaystyle c/r}$. Hieraus folgt, dass
• die Abwicklung der Kurve eine Gerade der Steigung ${\displaystyle c/r}$ ist.

Diese Eigenschaft lässt sich umkehren, um eine Schraublinie als Aufwicklung einer Geraden auf einen Zylindermantel herzustellen (s. Bild).

• Jede Geodätische (kürzeste Verbindung zweier Punkte) auf dem Zylinder ist eine Schraublinie.

Grund- und Aufriss einer Schraublinie, deren Achse senkrecht auf der Grundrisstafel steht, lassen sich leicht herstellen:

Gegeben sei: Der Radius ${\displaystyle r}$ des zugehörigen Zylinders, die Ganghöhe ${\displaystyle h}$ und der Punkt ${\displaystyle P_{0}}$ der Schraublinie auf dem Basiskreis des Zylinders.

Schraublinie: Punktkonstruktion in Grund- und Aufriss, Tangentenkonstruktion (rechts)

Der Grundriss der Schraublinie ist der Basiskreis des Zylinders, auf dem die Schraublinie liegt (wichtig für die Tangentenkonstruktion).

Um die Aufrisse einer Reihe von Punkten ${\displaystyle P_{0},P_{1},\dotsc ,P_{n}}$ der Schraublinie zu bestimmen, wählt man Punktepaare des Grundkreises so aus, dass sie auf einem Durchmesser liegen und benachbarte Punkte einen Winkelabstand von ${\displaystyle 45^{\circ }}$ (wie in dem Bild) oder ${\displaystyle 30^{\circ }}$ oder ${\displaystyle 15^{\circ }}$ besitzen. Der Winkelabstand sollte immer so gewählt werden, dass zu jedem Punktepaar auf einem Durchmesser auch das Punktepaar auf dem zugehörigen orthogonalen Durchmesser vorkommt.

Nun trägt man im Aufriss die Ganghöhe ${\displaystyle h}$ auf der Zylinderachse an, unterteilt diesen Abschnitt in ${\displaystyle n}$ gleiche Teile und zeichnet jeweils die zugehörige Höhenlinie ein. Der Schnittpunkt des Ordners zu Punkt ${\displaystyle P_{i}}$ mit der ${\displaystyle i}$-ten Höhenlinie liefert den Aufriss des Punktes ${\displaystyle P_{i}}$. Soll mehr als eine Windung gezeichnet werden, setzt man das Verfahren nach oben fort (s. Bild).

Tangentenkonstruktion: Der Grundriss der Tangente in einem Punkt der Schraublinie ist einfach die zugehörige Tangente an den Grundrisskreis (s. rechtes Bild). Um die Aufrisse der Tangenten zu bestimmen, wählt man einen Punkt ${\displaystyle S}$ auf der Zylinderachse und verschiebt alle Tangenten in diesen Punkt. Die Tangenten sind dann Erzeugende eines Kegels mit Spitze ${\displaystyle S}$. Hat ${\displaystyle S}$ die Höhe ${\displaystyle c={\tfrac {h}{2\pi }}}$, so treffen alle Tangenten den Basiskreis in einem der gewählten Punkte. Den so von allen Tangenten der Schraublinie erzeugten Kegel nennt man Richtkegel.

Z. B.: Der Aufriss der Tangente im Punkt ${\displaystyle P_{1}}$ (lila) ist die Parallele zur zugehörigen Erzeugenden des Richtkegels. Entsprechendes gilt für den Aufriss der Tangente im Punkt ${\displaystyle P_{3}}$ (grün).

Nun zeichnet man freihändig oder mit Hilfe eines Kurvenlineals eine Kurve durch die Aufrisspunkte, die die konstruierten Tangenten berührt.

Anhand der Parameterdarstellung oder dem Bild (Grund- und Aufriss) erkennt man:

• Der Aufriss der Schraublinie ist eine Sinuskurve.

Konstruktion einer orthogonalen Parallelprojektion einer Schraublinie an einem gekippten Zylinder

Zur Herstellung einer allgemeineren Orthogonalprojektion kann man den Zylinder samt Schraublinie um einen Winkel ${\displaystyle \delta }$ um einen Durchmesser des Grundkreises kippen.

1. Wähle für den neuen Riss (O-Riss) die Position des Mittelpunktes des Basiskreises und stelle hierzu in einem Seitenriss den gekippten Zylinder samt den Höhenmarkierungen der zu zeichnenden Punkte dar.
2. Der Basiskreis erscheint im O-Riss als Ellipse, deren große Halbachse der Kreisradius ist. Im Seitenriss erscheint der Basiskreis als Strecke (lila), deren Endpunkte über Ordner die fehlenden Scheitel der Ellipse im O-Riss liefern. Damit ist die Ellipse eindeutig bestimmt und lässt sich mit einer der zur Verfügung stehenden Verfahren (siehe Ellipsen zeichnen) zeichnen. Da die Ellipse nicht Teil der zu zeichnenden Projektion der Schraublinie ist, genügt es, die 8 Grundrisspunkte, dafür aber exakt, mit Hilfe der de-la-Hire-Methode oder des Seitenrisses (Umklappen des Basiskreises in die Bildtafel) zu zeichnen.
3. Dreht man im O-Riss den Basiskreis (Ellipse) in die Bildtafel, erscheint der Basiskreis in wahrer Gestalt und es können die Grundrisse der zu zeichnenden Punkte (1, 2, …, 12) der Schraublinien eingezeichnet werden. Zurückdrehen des Kreises liefert die Grundrisspunkte im O-Riss (auf der Ellipse).
4. Um einen Punkt der Schraublinie im O-Riss antragen zu können, benötigt man jeweils die durch das Kippen verkürzte Höhe (rot) über dem jeweiligen Grundrisspunkt (im Bild: Konstruktion des Punktes ${\displaystyle P_{9}}$).
5. Die jeweiligen Tangenten lassen sich, wie bei Grund- und Aufriss, mit Hilfe des Richtkegels einzeichnen.
6. Nach Konstruktion der Schraublinienpunkte samt Tangenten im O-Riss lässt sich die Schraublinie freihand oder mit Hilfe eines Kurvenlineals zeichnen.

Weitere Beispiele für orthogonale Projektionen

Weitere Beispiele orthogonaler Projektionen

• Kippt man den Zylinder so weit, dass die Projektion der Spitze des Richtkegels auf dem Bild des Basiskreises liegt, so hat die Orthogonalprojektion einer Schraublinie eine Spitze. In diesem Fall sind die Projektionsstrahlen parallel zu einer Tangente der Schraublinie (Abbildung rechts, linkes Bild).
• Bei weiterem Kippen erhält das Bild der Schraublinie eine Schleife (Abbildung rechts, rechtes Bild). Man rechnet nach: Die Orthogonalprojektion einer Schraublinie ist das affine Bild einer eventuell verlängerten oder verkürzten Zykloide.

Vogelperspektive

Eine Vogelperspektive (Militärprojektion), bei der die Bildtafel die Basiskreisebene des Zylinders ist, lässt sich einfacher herstellen, da der Basiskreis fest bleibt. Es muss hier also keine Ellipse konstruiert werden. Der Preis dafür ist die schlechtere Bildwirkung.

1. Zuerst zeichnet man den Basiskreis und die darauf liegenden (hier 8) Grundrisse der 12 zu zeichnenden Punkte der Schraublinie.
2. Man zeichnet einen dem Grundriss zugeordneten Seitenriss und trägt die Höhen der Punkte ${\displaystyle P_{0},\dotsc ,P_{12}}$ auf der Zylinderachse ab.
3. Die schräge Projektionsrichtung wird durch den Winkel ${\displaystyle \beta }$ festgelegt.
4. In der Zeichnung wird der Achsenpunkt ${\displaystyle A_{9}}$ auf die Grundrissebene projiziert und die dadurch bestimmte Höhe von ${\displaystyle P_{9}}$ (rot) in die Bildtafel (Grundrissebne) über dem zugehörigen Grundrisspunkt angetragen.
5. Die Tangenten lassen sich analog zum Grund- und Aufrissfall mit Hilfe des Richtkegels bestimmen.
6. Zeichnen der Kurve.

Grundriss, Aufriss und orthogonale Parallelprojektion einer Wendeltreppe

Für eine Wendeltreppe verschraubt man eine vorgegebene 1. Stufe. Jeder Punkt bewegt sich dabei auf einer Schraublinie. Grundriss, Aufriss und die orthogonale Parallelprojektion lassen sich mit den hier beschriebenen Methoden konstruieren.

• Schraubfläche
• Wendelfläche

• U. Graf, M. Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 184, 220.
• C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 125.

• K. Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie. (PDF; 13 MB), TH Karlsruhe, S. 274.

1. Graf, Barner
2. Strubecker