Schraubfläche

Die Verschraubung eines Punktes kann man sich als eine Überlagerung einer Drehung und einer Verschiebung in Richtung der Drehachse proportional zum Drehwinkel vorstellen.

Die Verschraubung des Punktes ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ um die z-Achse lässt sich durch

• ${\displaystyle \mathbf {p} (\varphi )={\begin{pmatrix}x_{0}\cos \varphi -y_{0}\sin \varphi \\x_{0}\sin \varphi +y_{0}\cos \varphi \\z_{0}+c\;\varphi \end{pmatrix}}\ ,\ \varphi \in \mathbb {R} \ ,}$

beschreiben. Dabei ist ${\displaystyle c\neq 0}$ der Schraubparameter, der Winkel ${\displaystyle \varphi }$, im Bogenmaß gemessen, der Schraubwinkel und ${\displaystyle h=c\;2\pi }$ die Ganghöhe (grün). Die Bahn des Punktes ist eine Schraublinie (rot). Sie liegt auf einem geraden Zylinder, dessen Radius gleich dem Abstand des Punktes von der Schraubachse ist.

Falls ${\displaystyle c>0}$ ist, nennt man die entstehende Schraublinie rechtsgängig andernfalls linksgängig. (Für ${\displaystyle c=0}$ würde eine Rotation um die z-Achse entstehen).

Die Verschraubung der Kurve

• ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=(x(t),y(t),z(t))^{T},\ t_{1}\leq t\leq t_{2}\ ,}$

liefert die Schraubfläche mit der Parameterdarstellung

• ${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi )={\begin{pmatrix}x(t)\cos \varphi -y(t)\sin \varphi \\x(t)\sin \varphi +y(t)\cos \varphi \\z(t)+c\;\varphi \end{pmatrix}}\ ,\quad t_{1}\leq t\leq t_{2},\ \varphi \in \mathbb {R} \ .}$

Die Flächenkurven ${\displaystyle \mathbf {S} (t=const,\varphi )}$ sind Schraublinien.
Die Flächenkurven ${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi =const)}$ sind Kopien der gegebenen Kurve.

Ist die gegebene Kurve eine Gerade, so entsteht eine Regelschraubfläche. Dabei sind 4 Fälle zu unterscheiden:

(1) Die Gerade schneidet die Schraubachse senkrecht. Es entsteht eine Wendelfläche (geschlossene gerade Regelschraubfläche).

(2) Die Gerade schneidet die Achse, aber nicht senkrecht. Es entsteht eine schiefe geschlossene oder scharfgängige Regelschraubfläche.

Ist die Gerade windschief zur Schraubachse, entsteht eine offene Regelschraubfläche. Im Gegensatz zur geschlossenen Regelschraubfläche gehört in diesem Fall die Schraubachse nicht zur Fläche. Die Flächenpunkte haben mindestens den Abstand der Ausgangsgerade von der Achse.

(3) Ist die Gerade windschief in einer zur Achse senkrechten Ebene enthalten, entsteht eine gerade offene Regelschraubfläche oder kurz offene Wendelfläche.

(4) Ist die Gerade windschief und nicht in einer zur Achse senkrechten Ebene enthalten, entsteht eine schiefe offene Regelschraubfläche.

Schiefe Regelschraubflächen durchdringen sich (s. Bild), gerade (Wendelflächen) nicht.

Ein interessanter Sonderfall der schiefen offenen Regelschraubflächen liegt vor, wenn die verschraubte Gerade den Abstand ${\displaystyle d}$ von der Schraubachse und gegenüber der x-y-Ebene den Neigungswinkel ${\displaystyle \alpha }$ mit ${\displaystyle \tan \alpha =c/d}$ besitzt. In diesem Fall lässt sich die Fläche als Torse auffassen. Sie ist die Tangentenfläche der Schraublinie (Leitkurve) ${\displaystyle (d\cos \varphi ,d\sin \varphi ,c\varphi )}$, d. h., sie ist die Vereinigung aller Tangenten der Schraublinie. Als Torse ist diese Regelschraubfläche abwickelbar.

Bemerkung:

1. Die Wendelflächen sind Catalansche Flächen. Die geschlossene Wendelfläche ist sogar ein gerades Konoid.
2. Strahlschraubflächen sind keine algebraische Flächen, d. h., sie lassen sich nicht mit einer algebraischen Gleichung implizit beschreiben. Plausibel wird dies durch die Tatsache, dass es immer eine zur Schraubachse parallele Gerade gibt, die die Fläche in unendlich vielen Punkten schneidet, obwohl sie nicht der Fläche angehört.

Zur Durchdringung von geschlossenen Regelschraubflächen

Bei einer geschlossenen Regelschraubfläche schneidet die Gerade die Schraubachse. Beschreibt man die zu verschraubende Gerade durch ${\displaystyle (t,0,z_{0}+m\;t)^{T}}$ so ergibt sich die Parameterdarstellung

${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi )={\begin{pmatrix}t\cos \varphi \\t\sin \varphi \\z_{0}+mt+c\varphi \end{pmatrix}}\ .}$

Falls ${\displaystyle m=0}$ (geschlossene Wendelfläche) ist, durchdringt sich die Fläche nicht selbst.
Falls ${\displaystyle m\neq 0}$ (schiefe geschlossene Regelschraubfläche) ist, sind die Flächenkurven

• ${\displaystyle \mathbf {S} (t_{i},\varphi )}$ mit ${\displaystyle t_{i}={\frac {h}{4m}}(2i+1),\ i=1,2,\ldots }$ Selbstdurchdringungskurven (Doppelkurven).

Dies sind unendlich viele Schraublinien. Je kleiner ${\displaystyle |m|}$ ist, desto weiter liegen die Doppelkurven auseinander.

Schraubtorse: reguläre Teile (grün und blau) und Gratlinie (lila)

Geht man von der Schraublinie

${\displaystyle \mathbf {x} (\varphi )=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,c\varphi )^{T}}$ aus, so besitzt die zugehörige Schraubtorse die Parameterdarstellung:

• ${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi )=\mathbf {x} (\varphi )+t\mathbf {\dot {x}} (\varphi )={\begin{pmatrix}r\cos \varphi -tr\sin \varphi \\r\sin \varphi +tr\cos \varphi \\c(t+\varphi )\end{pmatrix}}\ .}$

Für die Flächennormale ergibt sich

• ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {S} _{t}\times \mathbf {S} _{\varphi }=\mathbf {\dot {x}} \times (\mathbf {\dot {x}} +t\mathbf {\ddot {x}} )=t(\mathbf {\dot {x}} \times \mathbf {\ddot {x}} )=t{\begin{pmatrix}cr\sin \varphi \\-cr\cos \varphi \\r^{2}\end{pmatrix}}\ .}$

Für ${\displaystyle t=0}$ ist der Normalenvektor der Nullvektor, d. h., die Ausgangskurve (Schraublinie) besteht aus den singulären Punkten der Fläche. Die Ausgangskurve heißt Gratlinie der Schraubtorse. Die Gratlinie trennt die Fläche in zwei reguläre Teilflächen (siehe Bild).