Schnittreaktion

Man kann das Krafteck rechnerisch oder graphisch lösen.

Die Gleichgewichtsbedingungen liefern im Allgemeinen nur bei statisch bestimmten Systemen eindeutige Ergebnisse. Bei statisch unbestimmten Systemen gibt es im Allgemeinen zu viele Unbekannte, um sie ohne zusätzliche Gleichungen anzuwenden. In diesem Fall führen z. B. Kraft- oder Weggrößenverfahren zur Lösung. Die Schnittreaktionen (an statisch bestimmten Systemen) rechnet man normalerweise mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen aus. Die Gleichgewichtsbedingungen für statische Systeme besagen, dass

1. die Summe aller Kräfte gleich null ist ${\displaystyle \sum {\vec {F}}_{i}={\vec {0}}}$ und
2. die Summe aller Momente (um einen beliebigen Punkt) gleich null ist ${\displaystyle \sum {\vec {M}}_{i}={\vec {0}}}$.

Mit diesen Gleichgewichtsbedingungen werden Gleichungen erstellt, die es ermöglichen, die fehlenden Kräfte oder Momente auszurechnen. Durch eine intelligente Wahl der Schnitte (z. B. so, dass jeweils nur eine unbekannte Größe in einer Gleichung auftaucht) lässt sich oft der Rechenaufwand verringern, jedoch ist dies nicht immer möglich.

Die genauen Gleichungen sind im Folgenden aufgeführt.

Hier kann man 3 linear unabhängige Momenten-Gleichgewichtsbedingungen definieren, am einfachsten ist es im Allgemeinen zwei Punkte davon im Unendlichen zu definieren und somit erhält man zwei Kraftkomponenten-Gleichgewichtsbedingungen und eine Momenten-Gleichgewichtsbedingung:

${\displaystyle \Sigma F_{ix}=0}$

${\displaystyle \Sigma F_{iz}=0}$

${\displaystyle \Sigma M_{i}^{(A)}=0}$

Anmerkung: Der Index „A“ in der Momentegleichung deutet darauf, dass man hier die Summe der Momente um einen fiktiven Drehpunkt „A“ betrachtet.

Hier ergeben sich z. B. drei Kraftkomponenten-Gleichgewichtsbedingungen und drei Momentenkomponenten-Gleichgewichtsbedingungen:

${\displaystyle \Sigma F_{ix}=0}$

${\displaystyle \Sigma F_{iy}=0}$

${\displaystyle \Sigma F_{iz}=0}$

${\displaystyle \Sigma M_{ix}^{(A1)}=0}$

${\displaystyle \Sigma M_{iy}^{(A2)}=0}$

${\displaystyle \Sigma M_{iz}^{(A3)}=0}$

Die Punkte „A1“, „A2“, „A3“ dürfen auch identisch sein, sondern liefern auch neue linear unabhängige Gleichungen, da sie die Drehmomente um eine andere Achse betrachten. Alternativ kann z. B. man auch sechs Momenten-Gleichgewichtsbedingungen aufstellen, hierbei muss man jedoch unterschiedliche Punkte wählen.

Mit diesem Ansatz werden Differentialgleichungen, die die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen, für die gesuchten Schnittgrößen aufgestellt und dann mit zum System passenden Randbedingungen (beispielsweise: Keine Momentübertragung an einem Lager an Position x=0) gelöst.

In der schubweichen Balkentheorie II. Ordnung gibt es unter den Bernoullischen Annahmen folgende Differentialgleichungen für die Queranteile:

1. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} R(x)}{\mathrm {d} x}}=-q(x)}$[2]
2. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} M(x)}{\mathrm {d} x}}=R(x)-N^{II}(x)\cdot \left[{\frac {\mathrm {d} w_{v}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\right]+m(x)}$[2]
3. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}=-\left[{\frac {M(x)}{E\cdot I(x)}}+\kappa ^{e}(x)\right]}$[2][3]
4. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} w(x)}{\mathrm {d} x}}=\varphi (x)+{\frac {V(x)}{G{\tilde {A}}(x)}}}$[2]

mit

• der Laufkoordinate x entlang der Balkenachse
• dem Elastizitätsmodul E
• dem Schubmodul G (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht in den Differentialgleichungen auf)
• dem Flächenträgheitsmoment I(x)
• R(x) der Transversalkraft (in der Theorie I. Ordnung gilt R(x)=V(x))
• V(x) der Querkraft
• N^II(x) die Normalkraft nach Theorie Theorie II. Ordnung (in der Theorie I. Ordnung tritt dieser Term in der Differenzialgleichung nicht auf)
• q(x) der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit[3])
• M(x) dem Biegemoment
• m(x) dem Streckenmoment (Biegebelastung pro Längeneinheit[3])
• φ(x) der Verdrehung
• κ^e(x) der eingeprägten Krümmung
• w(x) der Durchbiegung zufolge Belastung
• w_v(x) der Durchbiegung zufolge Vorverformung
• ${\displaystyle {\tilde {A}}(x)}$ der Schubfläche (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht auf).

Die ersten beiden Differenzialgleichungen folgen allein aus den Gleichgewichtsbedingungen, erste folgt aus Summe der Vertikalkräfte ist null und zweitere aus der Erkenntnis, dass die Summe der Momente Null sein muss. Die letzten beiden Differenzialgleichungen sind geometrische Differentialbeziehungen, das die erste Ableitung der Biegelinie die Neigung ist und die zweite Ableitung die Krümmung ist, hinzukommend werden hier noch zwei Materialgleichungen eingesetzt:

${\displaystyle \kappa (x)={\frac {M(x)}{E\cdot I(x)}}}$ und ${\displaystyle {\overline {\gamma }}(x)={\frac {V(x)}{G{\tilde {A}}(x)}}}$.