Schmetterlingssatz
Der Schmetterlingssatz (englisch Butterfly theorem) ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, der eine Eigenschaft von Kreissehnen behandelt und sich als Korollar des Sehnensatzes unter Anwendung der Ähnlichkeitslehre ergibt. Der Name erklärt sich aus der Ähnlichkeit zwischen einer Planfigur zu diesem Satz und der skizzenhaften Darstellung eines Schmetterlings.
Schmetterlingssatz
Formulierung des Satzes
- Gegeben sei ein Kreis mit einer Sehne . sei der Mittelpunkt dieser Sehne. und seien zwei weitere Kreissehnen, die ebenfalls durch gehen. Dabei sollen und auf derselben Seite von liegen. und seien die Schnittpunkte der Kreissehnen bzw. mit .
- Dann gilt: ist auch der Mittelpunkt der Strecke .
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![{\displaystyle [AB]}](../I/13e80b9404482bdbe7fe18d8435b3dd42fd39bb0.svg)
![{\displaystyle [CD]}](../I/cc0573d2a8fc2386767a2b81c2a5777e9271ae59.svg)
![{\displaystyle [AD]}](../I/b011f46900ada7b9fb45e04f122f5c8d6b336c94.svg)
![{\displaystyle [CB]}](../I/2bd2c815b6f1a9baf63925ea36759884358dde42.svg)
![{\displaystyle [PQ]}](../I/1103707481b5a55fd636cb13fdd707c6822b80c6.svg)
Literatur
- William I. Jacobson: The Butterfly Problem-Extensions, Generalizations. Mathematics Magazine, Vol. 42, No. 1 (Jan., 1969), pp. 17–21 (JSTOR:2688031)
- Rudolf Fritsch: Bemerkungen zum Schmetterlingssatz. Beiträge zu Mathematikunterricht 2003, Franzbecker, 2003, S. 221–224
- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 9783662454619, S. 125
Weblinks
Commons: Butterfly theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
- Eric W. Weisstein: Butterfly Theorem. In: MathWorld (englisch). ; vgl. auch in WolframDemonstationsProject
- Eine Verbesserung des Schmetterlingssatzes (cut-the-knot, engl.)
- Verallgemeinerung des Schmetterlingssatzes auf Ellipsen
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