Paschen-Gesetz

Um die Durchschlagspannung zu berechnen, geht man von einem Plattenkondensator mit dem Plattenabstand ${\displaystyle d}$ aus. Die Kathode befindet sich am Punkt ${\displaystyle x=0}$. Man kann also von einem homogenen elektrischen Feld zwischen den Platten ausgehen.

Für die Stoßionisation ist es Voraussetzung, dass die Elektronenenergie ${\displaystyle E_{e}}$ größer als die Ionisationsenergie ${\displaystyle E_{I}}$ der Gasatome ist, die sich zwischen den Platten befinden. Pro Weglänge ${\displaystyle x}$ werden die Anzahl von ${\displaystyle \alpha }$ Ionisationen auftreten. ${\displaystyle \alpha }$ ist als erster Townsend-Koeffizient bekannt, da er von Townsend[7] eingeführt wurde. Die Änderung des Stroms der Elektronen ${\displaystyle \Gamma _{e}}$ kann also für den Plattenkondensatoraufbau so beschrieben werden:

${\displaystyle \Gamma _{e}(x=d)=\Gamma _{e}(x=0)\,\mathrm {e} ^{\alpha d}\qquad \qquad (1)}$

(Die Anzahl an freien Elektronen auf der Anode ist also die Anzahl der freien Elektronen auf der Kathode, die sich durch Stoßionisation vermehrt hat. Je größer also ${\displaystyle d}$ und/oder ${\displaystyle \alpha }$ ist, desto mehr freie Elektronen werden erzeugt.)

Die Anzahl an erzeugten freien Elektronen bei der Entladung ist

${\displaystyle \Gamma _{e}(d)-\Gamma _{e}(0)=\Gamma _{e}(0)\left(\mathrm {e} ^{\alpha d}-1\right)\qquad \qquad (2)}$

Unter Vernachlässigung, dass Atome mehrfach ionisiert werden können, ist die Anzahl an erzeugten Ionen gleich der Anzahl der erzeugten freien Elektronen:

${\displaystyle \Gamma _{i}(0)-\Gamma _{i}(d)=\Gamma _{e}(0)\left(\mathrm {e} ^{\alpha d}-1\right)\qquad \qquad (3)}$

${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ist der Strom der Ionen. Damit die Entladung nicht sofort wieder erlischt, müssen freie Elektronen auf der Kathodenoberfläche erzeugt werden. Dies ist möglich, da die Ionen beim Auftreffen auf die Kathode Sekundärelektronen herausschlagen. (Für sehr hohe angelegte Spannungen kann auch Feldemission auftreten.) Ohne Feldemission kann man schreiben

${\displaystyle \Gamma _{e}(0)=\gamma \,\Gamma _{i}(0)\qquad \qquad (4)}$

wobei ${\displaystyle \gamma }$ die Anzahl der Elektronen ist, die ein auftreffendes Ion im Schnitt herausschlägt. Dies wird als dritter Townsend-Koeffizient bezeichnet. Angenommen, dass ${\displaystyle \Gamma _{i}(d)=0}$ erhält man eine Beziehung zwischen den Townsend-Koeffizienten, indem man (4) in (3) einsetzt und umformt:

${\displaystyle \alpha d=\ln \left(1+{\frac {1}{\gamma }}\right)\qquad \qquad (5)}$

Die Frage ist nun, wie groß ${\displaystyle \alpha }$ ist. Die Anzahl der Ionisationen hängt davon ab, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Elektron ein Ion trifft. Diese Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P}$ ist das Verhältnis des Wirkungsquerschnitts ${\displaystyle \sigma }$ eines Stoßes zwischen Elektron und Ion im Verhältnis zur insgesamt zu Verfügung stehenden Fläche ${\displaystyle A}$, durch die das Elektron fliegen kann:

${\displaystyle P={\frac {N\sigma }{A}}={\frac {x}{\lambda }}\qquad \qquad (6)}$

Wie der zweite Teil der Gleichung verdeutlicht, kann man die Wahrscheinlichkeit auch als Verhältnis der vom Elektron zurückgelegten Wegstrecke ${\displaystyle x}$ zur mittleren freie Weglänge ${\displaystyle \lambda }$ (ehe wieder eine Ionisation auftritt) ausdrücken.

Veranschaulichung des Wirkungsquerschnitts ${\displaystyle \sigma }$: Wenn der Mittelpunkt von Teilchen b in den blauen Kreis eindringt, kommt es zu Kollision mit Teilchen a. Die Fläche des Kreises ist somit der Wirkungsquerschnitt und sein Radius ${\displaystyle r}$ ist damit die Summe der Radien der Teilchen.

${\displaystyle N}$ ist die Anzahl an Elektronen, denn jedes kann stoßen. Die Anzahl lässt sich mit der Zustandsgleichung des Idealen Gases

${\displaystyle pV=Nk_{\mathrm {B} }T\qquad \qquad (7)}$

(${\displaystyle p}$: Druck, ${\displaystyle V}$: Volumen, ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$: Boltzmann-Konstante, ${\displaystyle T}$: Temperatur)

ausdrücken. Wie nebenstehende Skizze verdeutlicht, ist ${\displaystyle \sigma =\pi (r_{a}+r_{b})^{2}}$. Da der Radius eines Elektrons gegenüber dem Radius eines Ions ${\displaystyle r_{I}}$ vernachlässigt werden kann, vereinfacht es sich zu ${\displaystyle \sigma =\pi r_{I}^{2}}$. Nutzt man diese Beziehung, setzt (7) in (6) ein und formt nach ${\displaystyle \lambda }$ um, erhält man

${\displaystyle \lambda ={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\pi r_{I}^{2}p}}={\frac {1}{Lp}}\qquad \qquad (8)}$

wobei der Faktor ${\displaystyle L}$ nur zur besseren Übersichtlichkeit eingeführt wurde.

Die Änderung des Stroms von noch nicht kollidierten Elektronen an jedem Wegpunkt ${\displaystyle x}$ kann man als

${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma _{e}(x)=-\Gamma _{e}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\lambda _{e}}}\qquad \qquad (9)}$

ausdrücken. Diese Differentialgleichung lässt sich leicht lösen:

${\displaystyle \Gamma _{e}(x)=\Gamma _{e}(0)\,\exp {\left(-{\frac {x}{\lambda _{e}}}\right)}\qquad \qquad (10)}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ${\displaystyle \lambda >x}$ ist, also dass an der Stelle ${\displaystyle x}$ noch kein Stoß stattgefunden hat, ist

${\displaystyle P(\lambda >x)={\frac {\Gamma _{e}(x)}{\Gamma _{e}(0)}}=\exp {\left(-{\frac {x}{\lambda _{e}}}\right)}\qquad \qquad (11)}$

Gemäß seiner Definition ist ${\displaystyle \alpha }$ die Anzahl an Ionisationen pro Weglänge und damit das Verhältnis aus der Wahrscheinlichkeit, bei der in der mittleren freien Weglänge der Ionen noch keine Kollision stattgefunden hat, zur mittleren freien Weglänge der Elektronen:

${\displaystyle \alpha ={\frac {P(\lambda >\lambda _{I})}{\lambda _{e}}}={\frac {1}{\lambda _{e}}}\exp \left(-{\frac {\lambda _{I}}{\lambda _{e}}}\right)={\frac {1}{\lambda _{e}}}\exp \left(-{\frac {E_{I}}{E_{e}}}\right)\qquad \qquad (12)}$

Dabei wurde bedacht, dass die Energie ${\displaystyle E}$, die ein geladenes Teilchen zwischen zwei Stößen aufnehmen kann, von der elektrischen Feldstärke ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ und der Ladung ${\displaystyle Q}$ abhängt:

${\displaystyle E=\lambda Q{\mathcal {E}}\qquad \qquad (13)}$

Für den Plattenkondensator gilt ${\displaystyle E={\frac {U}{d}}}$, wobei ${\displaystyle U}$ die angelegte Spannung ist. Da von einer einfachen Ionisierung ausgegangen wurde, ist ${\displaystyle Q}$ die Elementarladung ${\displaystyle e}$. Man kann nun (13) und (8) in (12) einsetzen und erhält

${\displaystyle \alpha =L\cdot p\,\exp \left(-{\frac {L\cdot p\cdot d\cdot E_{I}}{eU}}\right)\qquad \qquad (14)}$

Setzt man dies in (5) ein und formt nach ${\displaystyle U}$ um, erhält man das Paschen-Gesetz für die Durchschlagspannung ${\displaystyle U_{\mathrm {Durchschlag} }}$, die zuerst von Paschen in[1] untersucht wurden und dessen Gleichung zuerst von Townsend in [2], section 227 hergeleitet wurde:

${\displaystyle U_{\text{Durchschlag}}={\frac {L\cdot p\cdot d\cdot E_{I}}{e\left(\ln(L\cdot p\cdot d)-\ln \left(\ln \left(1+\gamma ^{-1}\right)\right)\right)}}\qquad \qquad (15)}$

mit

${\displaystyle L={\frac {\pi r_{I}^{2}}{k_{\mathrm {B} }T}}}$

Die eingangs erläuterten Konstanten ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ lauten somit:

${\displaystyle A=L={\frac {\pi r_{I}^{2}}{k_{\mathrm {B} }T}}}$

${\displaystyle B={\frac {L\cdot E_{I}}{e}}={\frac {\pi r_{I}^{2}E_{I}}{Tk_{\mathrm {B} }e}}}$

Plasmazündung nach der Definition von Townsend (Townsend-Entladung) bedeutet, dass das Plasma einen Punkt erreicht, an dem es von selbst brennt, unabhängig von einer externen Quelle von freien Elektronen. Dies bedeutet, dass die Elektronen der Kathode die Anode im Abstand ${\displaystyle d}$ erreichen und dabei mindestens ein Atom auf dem Weg dahin ionisiert haben müssen. Gemäß der Definition von ${\displaystyle \alpha }$ muss also diese Beziehung erfüllt sein:

${\displaystyle \alpha d\geq 1\qquad \qquad (16)}$

Verwendet man ${\displaystyle \alpha d=1}$ statt (5), erhält man für die Durchschlagspannung

${\displaystyle U_{\text{Durchschlag Townsend}}={\frac {L\cdot p\cdot d\cdot E_{I}}{e\cdot \ln(L\cdot p\cdot d)}}={\frac {d\cdot E_{I}}{e\cdot \lambda _{e}\,\ln \left({\frac {d}{\lambda _{e}}}\right)}}\qquad \qquad (17)}$