Wurfparabel

Der Körper wird mit einer Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{0}}$ unter dem Winkel ${\displaystyle \beta }$ schräg nach oben geworfen. Dann gilt für die Geschwindigkeitskomponenten, aus denen die Abwurfgeschwindigkeit durch lineare Superposition zusammengesetzt ist (unter Vernachlässigung des Luftwiderstands), mit dem Sinus und Cosinus:

• horizontal: ${\displaystyle v_{\mathrm {0x} }=v_{0}\cos \beta }$
• vertikal: ${\displaystyle v_{\mathrm {0y} }=v_{0}\sin \beta }$

Daraus ergibt sich für die ${\displaystyle x}$- und ${\displaystyle y}$-Ortskomponenten Folgendes:

• horizontal: horizontale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit:

${\displaystyle x(t)=v_{0}t\cos \beta \qquad (1)}$

und

• vertikal: vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit plus Geschwindigkeitsänderung durch konstante Beschleunigung:

${\displaystyle y(t)=v_{0}t\sin \beta -{\frac {g}{2}}t^{2}\qquad (2)}$

Die vektorielle Bahngleichung lautet dann:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{0}t\cos \beta \\v_{0}t\sin \beta -{\frac {g}{2}}t^{2}\end{pmatrix}}}$

Die explizite Bahngleichung im Ortsraum (indem man ${\displaystyle (1)}$ nach ${\displaystyle t}$ auflöst und dann ${\displaystyle t}$ in ${\displaystyle (2)}$ einsetzt) lautet:

${\displaystyle y(x)=x\tan \beta -{\frac {g}{2{v_{0}}^{2}\cos ^{2}\beta }}x^{2}}$

Die Reichweite ${\displaystyle R}$ wird üblicherweise dadurch definiert, dass die Wurfparabel die Ausgangshöhe wieder erreicht, d. h.: ${\displaystyle y(R)=0}$. Damit kann man die Bewegungsgleichung nach ${\displaystyle R}$ auflösen und erhält:

${\displaystyle R={\frac {{v_{0}}^{2}}{g}}\sin(2\beta )}$

Da die Sinusfunktion bei ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ihren größten Wert ${\displaystyle \sin 90^{\circ }=1}$ hat, erreicht man bei Anfangshöhe ${\displaystyle h_{0}=0}$ die größte Reichweite für ${\displaystyle \beta _{\mathrm {max} }=45^{\circ }}$.

${\displaystyle \beta _{\mathrm {max} }=\arcsin {\frac {v_{0}}{\sqrt {2{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}}}=\arccos {\sqrt {\frac {{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}{2{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}}}=\operatorname {arccot} {\sqrt {1+{\frac {2gh_{0}}{{v_{0}}^{2}}}}}}$

Die Formel mit dem Arkuskosinus ergibt sich aus der Darstellung für den Arkussinus, und für die letzte Darstellung werden die Argumente der beiden vorhergehenden Formeln durch einander geteilt. Die Anfangshöhe darf höchstens so tief unter dem Ziel liegen, dass dieses bei einem senkrechten Wurf mit der Wurfweite ${\displaystyle 0}$ gerade noch erreicht werden kann, also:

${\displaystyle h_{0}\geq -{\frac {{v_{0}}^{2}}{2g}}}$

Die von der Abwurfhöhe ${\displaystyle h_{0}}$ abhängige maximale horizontale Wurfweite beträgt ${\displaystyle R_{\mathrm {max} }(v_{0},h_{0})={\frac {v_{0}}{g}}{\sqrt {{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}}}$ bei einer Flugdauer von ${\displaystyle {\frac {1}{g}}{\sqrt {2{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}}}$.

Aus der Formel für die maximale Wurfweite ergeben sich durch Umstellen der Gleichung die minimale Abwurfgeschwindigkeit für vorgegebene Abwurfhöhe und Wurfweite zu ${\displaystyle v_{0}(R,h_{0})={\sqrt {g{\sqrt {R^{2}+{h_{0}}^{2}}}-gh_{0}}}}$ sowie ein optimaler Abwurfwinkel von ${\displaystyle \beta (R,h_{0})=\arcsin {\sqrt {{\frac {1}{2}}-{\frac {h_{0}}{2{\sqrt {R^{2}+{h_{0}}^{2}}}}}}}}$ und eine Flugdauer von ${\displaystyle {\sqrt {{\frac {2}{g}}{\sqrt {R^{2}+{h_{0}}^{2}}}}}}$.

Für ${\displaystyle h_{0}=0}$ ergeben sich jeweils die bereits bekannten Formeln.

Beispiel zur oberen (blau; 71,1°) und unteren (orange; 18,9°) Winkelgruppe. Beide Wurfparabeln führen bei gleicher Anfangsgeschwindigkeit zum Ziel in 100 m Entfernung.

Soll durch einen Wurf ein Ziel auf gleicher Höhe in einer gegebenen Entfernung ${\displaystyle R_{\mathrm {T} }}$ erreicht werden, so gibt es für diese Aufgabe in Abhängigkeit von der Anfangsgeschwindigkeit entweder keine, eine oder zwei Lösungen. Der erste Fall tritt ein, wenn die maximale Reichweite geringer als die Entfernung zum Ziel ist; der zweite Fall, wenn das Ziel gerade noch durch einen Wurf von 45° zu erreichen ist. Für noch höhere Anfangsgeschwindigkeiten existieren dann stets zwei Winkel, bei denen die Wurfparabel beide Male zum Ziel führt; dies sind die beiden positiven Winkel, welche die Gleichung

${\displaystyle \sin(\beta )\cos(\beta )={\frac {g}{2v_{0}^{2}}}R_{\mathrm {T} }}$

erfüllen. Dabei ist stets genau eine Lösung größer als 45°, die andere kleiner als 45°.

Entsprechend werden in der Ballistik Lösungen mit einem Winkel über 45° als obere Winkelgruppe bezeichnet, die anderen als untere Winkelgruppe. Im Artilleriewesen spricht man von Steilfeuer mit einem Mörser beziehungsweise von flachem Feuer mit einer Kanone oder wahlweise beides mit einer Haubitze.

Beispiel

Für einen Wurf (oder Schuss) zu einem 100 m entfernten Ziel auf gleicher Höhe muss die Anfangsgeschwindigkeit unter den üblichen idealen Annahmen (keine Reibung, Schwerebeschleunigung von 9,81 m/s²) mindestens 31 m/s betragen. Mit diesem Wert für die Anfangsgeschwindigkeit ist es durch einen Wurf von 45° erreichbar und nur dadurch. Für jeden höheren Geschwindigkeitswert gibt es dann stets zwei Lösungen. Beispielsweise kann bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 40 m/s das Ziel sowohl mit einem Winkel von 18,9° wie auch mit dem von 71,1° erreicht werden; die Flugdauer ist für Lösungen aus der unteren Winkelgruppe jeweils kürzer, im Beispiel beträgt sie etwa 2,6 s gegenüber 7,7 s für die zweite Lösung.

Für ${\displaystyle \beta \neq 0}$ gilt die allgemeine Formel

${\displaystyle R={\frac {{v_{0}}^{2}}{2g}}\sin(2\beta )\left[1+\left(1+{\frac {2gh_{0}}{{v_{0}}^{2}\sin ^{2}\beta }}\right)^{1/2}\right]={\frac {v_{0}\cos \beta }{g}}\left(v_{0}\sin \beta +{\sqrt {(v_{0}\sin \beta )^{2}+2gh_{0}}}\right)}$

für die Wurfweite ${\displaystyle R}$. Die maximale Reichweite und der zugehörige Startwinkel kann aus der einhüllenden Wurfparabel auch ohne Verwendung von Ableitungen bestimmt werden. Für ${\displaystyle h_{0}>0}$ ist ${\displaystyle \beta _{\mathrm {max} }<45^{\circ }}$, für ${\displaystyle h_{0}<0}$ folgt umgekehrt ${\displaystyle \beta _{\mathrm {max} }>45^{\circ }}$.

Der Scheitelpunkt wird in dem Augenblick erreicht, in dem die vertikale Geschwindigkeit null beträgt, d. h., wenn eine bis dahin nach oben gerichtete Bewegung endet und eine nach unten gerichtete Bewegung beginnt. Im Scheitelpunkt wurde die gesamte kinetische Energie (in vertikaler Richtung) umgesetzt in potentielle Energie.

Den Scheitelpunkt kann man berechnen, da der Wurf eine Parabelform hat und der Scheitelpunkt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle R}$ liegt.[3] Der Scheitelpunkt hat also die ${\displaystyle x}$-Koordinate ${\displaystyle {\frac {1}{2}}R}$. Die ${\displaystyle y}$-Koordinate erhält man durch die Bewegungsgleichung.

Aufgelöst, hat der Scheitelpunkt folgende Koordinaten:

${\displaystyle x_{\mathrm {S} }={\frac {\sin(2\beta )}{2}}{\frac {v_{0}^{2}}{g}}=\sin \beta \cos \beta {\frac {v_{0}^{2}}{g}}}$

${\displaystyle y_{\mathrm {S} }={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\beta }{2g}}}$

Bei Abwurfhöhe ${\displaystyle h_{0}=0}$ liegen die Scheitelpunkte aller Wurfparabeln mit konstantem ${\displaystyle v_{0}}$ und variablem ${\displaystyle \beta \in [0^{\circ };180^{\circ }]}$ auf einer querformatigen Ellipse mit Mittelpunkt ${\displaystyle \left(0;\ {\frac {v_{0}^{2}}{4g}}\right)}$ und Halbachsen ${\displaystyle {\frac {v_{0}^{2}}{2g}}}$ und ${\displaystyle {\frac {v_{0}^{2}}{4g}}}$.

Wurfparabel mit Höhen- und Zeitskala (Wurf mit ≈ 36 m/s unter 63°, Aufprall ohne Atmosphäre nach 8 s)

Wären weder Gravitation noch Luftwiderstand vorhanden, so würde der Körper dem Trägheitsprinzip folgend gleichförmig bewegt in die gleiche Richtung und mit gleicher Geschwindigkeit wie zu Anfang weiterfliegen (roter Pfeil).

Das Erdschwerefeld lenkt den Körper jedoch nach unten ab – und zwar mit der Zeit ${\displaystyle t}$ quadratisch zunehmend:

• Nach 1 s liegt die tatsächliche Flugbahn um knapp 5 m tiefer als die Tangente am Ausgangspunkt (Abwurfpunkt),
• nach 2 s um das Vierfache (etwa 20 m),
• nach 3 s 45 m sowie
• nach 4 s 80 m und so weiter (Schwerebeschleunigung von 9,81 auf 10 m/s² gerundet).

Der senkrechte Wurf ist ein wichtiger Spezialfall der Wurfparabel. Er lässt sich in zwei verschiedene Wurfrichtungen ausführen – nach oben (gegen die Schwerebeschleunigung) und nach unten (mit der Schwerebeschleunigung).

Der senkrechte Wurf nach oben entspricht einer ungestörten Überlagerung von geradlinig gleichförmiger Bewegung nach oben und dem freien Fall nach unten. Wenn man dies in einer Grafik darstellt, so ergibt sich eine symmetrische Parabel, deren höchster Punkt dem Umkehrpunkt (Scheitelpunkt) des Körpers entspricht. Dabei ergeben sich folgende Formeln:

Senkrechter Wurf (Springbrunnen im Garten des Schlosses Belvedere, Wien, Österreich)

Waagerechter Wurf (Springbrunnen im Garten des Schlosses Belvedere, Wien, Österreich)

${\displaystyle v=v_{0}-gt}$

${\displaystyle s=v_{0}t-{\frac {g}{2}}t^{2}}$

• Die maximale Wurfhöhe ${\displaystyle h_{\mathrm {max} }}$

wird berechnet, indem man die Geschwindigkeit ${\displaystyle v=0}$ setzt, dann zunächst die

• Steigzeit ${\displaystyle t_{\mathrm {s} }={\frac {v_{0}}{g}}}$

berechnet und schließlich mithilfe der unteren Gleichung ${\displaystyle s=h}$ ermittelt.

Es ergibt sich:

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {{v_{0}}^{2}}{2\,g}}}$

• Die Wurfdauer ${\displaystyle t_{\mathrm {w} }}$ berechnet man, indem man in der unteren Gleichung ${\displaystyle s=h=0}$ setzt und dann die quadratische Gleichung für ${\displaystyle t}$ löst. Einfacher kann die Wurfdauer jedoch durch Verdoppelung von Letzterer ermittelt werden, da die Fallzeit ${\displaystyle t_{\mathrm {f} }}$ gleich der Steigzeit ${\displaystyle t_{\mathrm {s} }}$ ist.

Der senkrechte Wurf nach unten entspricht einer Überlagerung von geradliniger Bewegung nach unten und freiem Fall nach unten. Dabei ergeben sich folgende Formeln:

${\displaystyle v=v_{0}+gt}$

${\displaystyle h=h_{0}-v_{0}t-{\frac {g}{2}}t^{2}}$

Einen weiteren Spezialfall, für den sich die Gleichungen vereinfachen, bildet der waagerechte Wurf.

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\begin{pmatrix}v_{0}t\\-{\frac {g}{2}}t^{2}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\begin{pmatrix}v_{0}\\-gt\end{pmatrix}}}$

Hüllkurve der Wurfparabeln mit gemeinsamer Anfangsgeschwindigkeit

Wird bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{0}}$ (und Anfangshöhe ${\displaystyle h_{0}=0}$) der Startwinkel ${\displaystyle \beta }$ verändert, so erreichen die verschiedenen Wurfparabeln unterschiedliche Punkte in der (vertikalen) Wurfebene. Die Reichweite dieser Wurfparabeln wird durch die einhüllende Wurfparabel begrenzt.

Die Gleichung der Hüllkurve der Wurfparabeln ${\displaystyle y(x)=x\tan \beta -{\frac {g\,x^{2}}{2\,{v_{0}}^{2}\cos ^{2}\beta }}+h_{0}}$ lautet:

${\displaystyle y_{\mathrm {H} }(x)={\frac {{v_{0}}^{2}}{2\,g}}-{\frac {g\,x^{2}}{2\,{v_{0}}^{2}}}+h_{0}}$

Sie entspricht demnach einem waagerechten Wurf (${\displaystyle \beta =0}$) aus der maximal erreichbaren Wurfhöhe des senkrechten Wurfs mit dessen Anfangsgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{0}}$.

Weitester Wurf (rot) auf einer schiefen Ebene

Auch für Würfe an geneigten Ebenen kann man den Winkel für die maximale Reichweite bestimmen. Mit den Bezeichnungen im Bild und im Abschnitt #Mathematische Beschreibung berechnet sich aus ${\displaystyle y(t_{w})=-\tan(\alpha )\cdot x(t_{w})}$ mit den Additionstheoremen die Wurfdauer

${\displaystyle t_{w}={\frac {2v_{0}\sin(\alpha +\beta )}{g\cos(\alpha )}}}$

und mit den Summenformeln zweier trigonometrischer Funktionen die horizontal gemessene Reichweite

${\displaystyle x(t_{w})=v_{0}\cos(\beta )t_{w}={\frac {v_{0}^{2}{\big (}\sin(2\beta +\alpha )+\sin(\alpha ){\big )}}{g\cos(\alpha )}}}$

Weil die Sinusfunktion bei ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ihren größten Wert ${\displaystyle \sin 90^{\circ }=1}$ hat, ist bei maximaler Reichweite

${\displaystyle 2\beta +\alpha =90^{\circ }}$   oder   ${\displaystyle \beta =45^{\circ }-{\frac {\alpha }{2}}}$

Demnach ist die maximale horizontale Reichweite

${\displaystyle x_{\max }={\frac {v_{0}^{2}{\big (}1+\sin(\alpha ){\big )}}{g\cos(\alpha )}}}$

Auf Gottfried Wilhelm Leibniz geht die Idee zurück, Bewegungen durch Bewegungskonstanten zu beschreiben, die auch Integrale der Bewegung oder kurz Integrale genannt werden. Beim schrägen Wurf ohne Luftwiderstand bleibt die (auf die Masse bezogene) Gesamtenergie

${\displaystyle e={\frac {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}{2}}+g\cdot y={\frac {v_{0}^{2}}{2}}}$

konstant, worin der Überpunkt die Zeitableitung symbolisiert. Der erste Summand ist die Kinetische– und der zweite die Potentielle Energie. Weil diese Größe über die Flugdauer konstant ist, entspricht sie der Kinetischen Energie zu Beginn auf der rechten Seite. Daneben ist auch

${\displaystyle {\dot {x}}{\dot {y}}+gx={\frac {v_{0}^{2}}{2}}\sin(2\beta )}$

ein Integral. Mit den Bewegungsfunktionen lassen sich sogar alle konstanten Eingangsgrößen darstellen, beispielsweise ist die Schwerebeschleunigung

${\displaystyle g=-2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {{\dot {x}}y}{x}}\right)}$