Satz von Wille

Der Monographie von Jürg T. Marti folgend, lässt sich der Satz wie folgt angeben:[3]

Gegeben seien im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} ,n\geq 2)}$ endlich viele nichtleere Teilmengen ${\displaystyle T,T_{1},\ldots ,T_{m}\subset \mathbb {R} ^{n}\;(m\in \mathbb {N} )}$ . Die Teilmenge ${\displaystyle T}$ sei beschränkt und die anderen Teilmengen ${\displaystyle T_{j}}$ seien abgeschlossen und konvex.

Die Teilmengen ${\displaystyle T_{j}}$ sollen die ${\displaystyle T}$-Randpunktmenge ${\displaystyle \partial {T}={\overline {T}}\setminus T^{\circ }}$ ganz überdecken, zugleich sollen aber noch Punkte in der Differenzmenge ${\displaystyle D=T\setminus \left(\bigcup _{j=1,\ldots ,m}{T_{j}}\right)}$ liegen.

Dann gilt:

(i) ${\displaystyle m\geq n+1}$.

(ii) In der Schnittmenge der ${\displaystyle m}$ Teilmengen ${\displaystyle T_{j}}$ liegt kein einziger Punkt: ${\displaystyle \bigcap _{j=1,\ldots ,m}{T_{j}}=\emptyset }$.

(iii) Es gibt unter den ${\displaystyle m}$ Teilmengen ${\displaystyle T_{j}}$ eine ${\displaystyle n}$-gliedrige Mengenfolge ${\displaystyle T_{j_{1}},\ldots ,T_{j_{n}}}$, deren Schnittmenge ${\displaystyle \bigcap _{k=1,\ldots ,n}{T_{j_{k}}}}$ nichtleer ist und die dabei einen Punkt ${\displaystyle p}$ enthält, der zugleich ein Berührpunkt der Differenzmenge ${\displaystyle D}$ ist.

Im Jahre 1959 lieferte der französische Mathematiker Claude Berge (1926–2002) einen verwandten Satz, der sich der Frage widmet, unter welchen Bedingungen endlich viele abgeschlossene konvexe Teilmengen im euklidischen Raum (und allgemeiner in einem gegebenen topologischen Vektorraum) eine andere gegebene konvexe Teilmenge nicht überdecken. Diesen Satz kann man in Anschluss an die Monographie von Josef Stoer und Christoph Witzgall folgendermaßen darstellen:[5]

Gegeben sei ein topologischer Vektorraum ${\displaystyle X}$ oder es sei sogar ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$.

Weiterhin gegeben seien endlich viele konvexe Teilmengen ${\displaystyle T,T_{1},\ldots ,T_{m}\subseteq X\;(m\in \mathbb {N} )}$, wobei die ${\displaystyle T_{j}}$ allesamt abgeschlossen in ${\displaystyle X}$ sein sollen.

Zudem sollen die folgenden Bedingungen erfüllt sein:

(a) Für ${\displaystyle k=1,\ldots ,m}$ sei stets

${\displaystyle T\cap \bigcap _{j=1,\ldots ,m\; \atop \;\ j\neq k}{T_{j}}\neq \emptyset }$.

(b) Insgesamt sei

${\displaystyle T\cap \bigcap _{j=1,\ldots ,m}{T_{j}}=\emptyset }$.

Dann gilt:

${\displaystyle T\nsubseteq \bigcup _{j=1,\ldots ,m}{T_{j}}}$.

• Claude Berge: Sur une propriété combinatoire des ensembles convexes. In: Comptes rendus de l’Académie des sciences Paris. Band 248, 1959, S. 2698–2699 (MR0106435).
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).
• Josef Stoer, Christoph Witzgall: Convexity and Optimization in Finite Dimensions. I. (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 163). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970 (MR0286498).
• Friedrich Wille: Überdeckungen mit konvexen Mengen und nichtlineare Gleichungssysteme. In: Commentarii Mathematici Helvetici. Band 47, 1972, S. 273–288 (MR0317183).

1. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 214 ff, S. 273
2. Friedrich Wille: Überdeckungen mit konvexen Mengen und nichtlineare Gleichungssysteme. Comment. Math. Helv. 47, S. 273–288
3. Marti, op. cit., S. 217
4. Marti, op. cit., S. 218
5. Josef Stoer, Christoph Witzgall: Convexity and Optimization in Finite Dimensions. I. 1970, S. 119–121