Satz von Vidav-Palmer

Es sei ${\displaystyle A}$ eine komplexe Banachalgebra mit Einselement ${\displaystyle e}$. Für ${\displaystyle a\in A}$ wird

${\displaystyle V(A,a):=\{\,f(a)\colon f\in A',\,f(e)=1=\|f\|\,\}\subset \mathbb {C} }$

als numerischer Wertebereich des Elements ${\displaystyle a}$ bezeichnet. Man nennt ${\displaystyle a}$ hermitesch, wenn ${\displaystyle V(A,a)\subset \mathbb {R} }$ und notiert als ${\displaystyle H(A)}$ die Menge der hermiteschen Elemente. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle H(A)}$ ein reeller Banachraum ist und dass für ein ${\displaystyle a\in A}$ folgende Aussagen äquivalent sind[1]:

• ${\displaystyle a\in H(A)}$, das heißt ${\displaystyle a}$ ist hermitesch.
• ${\displaystyle \lim _{a\searrow 0}{\frac {1}{\alpha }}(\|1+\alpha a\|-1)\,=\,0}$
• ${\displaystyle \|\exp(\mathrm {i} \alpha a)\|=1}$ für alle reellen Zahlen ${\displaystyle \alpha }$.

Zur Bildung von ${\displaystyle \exp(\mathrm {i} \alpha a)}$ ist zu beachten, dass die zugehörige Exponentialreihe in der Banachalgebra ${\displaystyle A}$ konvergiert.

Nach einem Satz von A. M. Sinclair stimmt der Spektralradius eines hermiteschen Elements mit seiner Norm überein.[2] Daraus ergibt sich, dass die konvexe Hülle des Spektrums mit dem numerischen Wertebereich übereinstimmt. Letzteres ist auch als Vidavs Lemma bekannt und wurde zuvor von Vidav ohne den erwähnten Satz von Sinclair bewiesen. Beide Beweise verwenden funktionentheoretische Hilfsmittel, insbesondere den Satz von Phragmén-Lindelöf.[3]

Der Satz von Vidav-Palmer lautet[4][5]:

• Sei ${\displaystyle A}$ eine komplexe Banachalgebra mit Einselement und es gelte ${\displaystyle A=H(A)+\mathrm {i} \cdot H(A)}$. Dann definiert ${\displaystyle (x+\mathrm {i} y)^{\ast }:=x-\mathrm {i} y}$ für ${\displaystyle x,y\in H(A)}$ eine Involution, die ${\displaystyle A}$ zu einer C*-Algebra macht.

Der ursprünglich von Vidav bewiesene Satz[6] enthielt die zusätzliche Voraussetzung, dass ${\displaystyle x^{2}\in H(A)}$ für alle ${\displaystyle x\in H(A)}$ gelten muss; von Palmer wurde gezeigt, dass diese entbehrlich ist.

Mit dem Satz von Vidav-Palmer lässt sich folgende Charakterisierung der C*-Algebren beweisen[7], die ursprünglich auf James Glimm und Richard Kadison zurückgeht:

• Eine komplexe Banachalgebra ${\displaystyle A}$ mit einer Involution * ist genau dann eine C*-Algebra, wenn ${\displaystyle \|a^{*}a\|=\|a^{*}\|\|a\|}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ gilt.

Der Satz von Vidav-Palmer liefert dieses Ergebnis eigentlich nur für Banachalgebren mit Einselement, die Version ohne Einselement geht auf B. J. Vowden zurück.[8] Die in obigem Satz gestellte Bedingung ist formal schwächer als die übliche C*-Bedingung ${\displaystyle \|a^{*}a\|=\|a\|^{2}}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$. Der Satz zeigt daher, dass durch die schwächere Bedingung keine neue Klasse von Banachalgebren begründet wird.

1. F. F. Bonsall, J. Duncan: Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras, Cambridge University Press (1971), ISBN 0-521-07988-8, Kapitel 1, §5, Lemma 2
2. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862, §10, Theorem 17
3. Benannt nach Lars Phragmén und Ernst Leonard Lindelöf.
4. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862, §38, Theorem 14
5. F. F. Bonsall, J. Duncan: Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras, Cambridge University Press (1971), ISBN 0-521-07988-8, §7, Theorem 2
6. I. Vidav: Eine metrische Kennzeichnung der selbstadjungierten Operatoren, Mathematische Zeitschrift, Band 66 (1956), Seiten 121–128
7. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862, §38, Theorem 15
8. B. J. Vowden: On the Gelfand-Naimark Theorem, J. London Math. Soc., Band 42 (1967), Seiten 725–731