Satz von Thue-Siegel-Roth

Der Satz von Thue-Siegel-Roth aus der Theorie diophantischer Approximationen in der Zahlentheorie wurde von Klaus Friedrich Roth nach Vorarbeiten von Axel Thue und Carl Ludwig Siegel 1955 bewiesen.[1]

Er besagt, dass für jede algebraische Zahl ${\displaystyle \alpha }$ und jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ die Ungleichung (p, q teilerfremd)

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<q^{-(2+\varepsilon )}}$		(Ungleichung 1)

nur endlich viele Lösungen hat. Indem man diese endlich vielen Lösungen beiseitelässt, lässt sich aus (Ungleichung 1) folgern, dass für genügend große q für jedes irrationale ${\displaystyle \alpha }$ gilt:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>C(\varepsilon ,\alpha )q^{-(2+\varepsilon )}}$		(Ungleichung 2)

mit einem nur von ${\displaystyle \varepsilon }$ und ${\displaystyle \alpha }$ abhängigen C. In dieser Form wird der Satz von Tue-Siegel-Roth meist präsentiert. Das ist der „beste“ mögliche solche Satz, da nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Dirichletscher Approximationssatz) jede reelle Zahl ${\displaystyle \alpha }$ Approximanten p/q hat, die näher als ${\displaystyle q^{-2}}$ liegen. Es gibt sogar unendlich viele, z. B. die Approximanten der Kettenbruch-Darstellungen dieser Zahlen (deren Sonderrolle der Satz somit ebenfalls aufzeigt).[2] Das heißt, es gibt für jede irrationale Zahl ${\displaystyle \alpha }$ unendlich viele rationale Zahlen ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ mit ${\displaystyle q>0}$ so dass:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<q^{-2}}$

Danach waren schrittweise obere Schranken für Exponenten ${\displaystyle \mu }$ bestimmt worden, so dass es endlich viele rationale Näherungslösungen ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ für algebraische irrationale Zahlen ${\displaystyle \alpha }$ mit

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<q^{-\mu }}$		(Ungleichung 3)

gibt. Joseph Liouville zeigte 1844 ${\displaystyle \mu <n}$, mit ${\displaystyle n>1}$ (siehe Diophantische Approximation). Hierbei ist n der Grad der algebraischen Gleichung mit Wurzel ${\displaystyle \alpha }$. Elementare Überlegungen zeigen außerdem, dass ${\displaystyle \mu >2}$ ist (siehe oben). Damit war ${\displaystyle 2<\mu \leq n}$ bekannt und es wurden verfeinerte Schranken gesucht.[3] Axel Thue zeigte 1908, dass ${\displaystyle \mu \leq n/2+1}$ und Carl Ludwig Siegel 1921 in seiner Dissertation (wobei er das Ergebnis schon 1916 seinem Lehrer Frobenius mitteilte), dass ${\displaystyle \mu \leq 2{\sqrt {n}}}$. Roth zeigte, dass 2 tatsächlich die optimale Schranke ist, denn für ${\displaystyle \mu \leq 2+\varepsilon }$ gibt es nur endlich viele Lösungen.

Der Beweis des Satzes ist umfangreich und findet sich zum Beispiel in den Lehrbüchern von Theodor Schneider[4] oder John Cassels.[5]

Der Beweis von Roth gibt keine Methode an, solche Lösungen zu finden bzw. C einzuschränken. Das wäre interessant, um etwas über die Anzahl der Lösungen Diophantischer Gleichungen zu erfahren (d. h. ganzzahligen oder rationalen Lösungen algebraischer Gleichungen, für die beispielsweise das ${\displaystyle \alpha }$ in (Ungleichung 2) eine reelle Wurzel ist). Solche effektiven Methoden wurden in den 1960er Jahren von Alan Baker in die Theorie transzendenter Zahlen und diophantischer Gleichungen eingeführt. Der Satz von Thue-Siegel-Roth folgt auch aus dem Subspace-Theorem von Wolfgang Schmidt. Dieser gab auch eine Verallgemeinerung für simultane Näherung mehrerer algebraischer Zahlen ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$. Seien ${\displaystyle 1,x_{1},\cdots ,x_{n}}$ linear unabhängig über den rationalen Zahlen und ${\displaystyle \varepsilon }$ eine beliebige positive reelle Zahl, dann gibt es nur endliche viele n-Tupel rationaler Zahlen ${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q}},\cdots ,{\frac {p_{n}}{q}}}$ mit

${\displaystyle \left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+{\frac {1}{n}}+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Es gibt auch eine p-adische Version des Satzes von Thue-Siegel-Roth.[6]

Als Anwendung des Satzes von Thue-Siegel-Roth kann man neue transzendente Zahlen finden. Der Satz von Liouville lieferte diese in Form Liouvillescher Zahlen. Mit dem Satz von Thue-Siegel-Roth braucht man nur irrationale Zahlen zu finden, die besser als ${\displaystyle {\frac {1}{q^{2}}}}$ durch rationale Zahlen approximierbar sind und nicht ${\displaystyle {\frac {1}{q^{n}}}}$ wie beim Satz von Liouville. Ein Beispiel ist der Nachweis der Transzendenz für die Zahl

${\displaystyle \tau =0{,}1234567891011121314\cdots }$

also der Zahl die entsteht wenn man alle Dezimalzahlen hintereinanderschreibt.[7] Das Gleiche gilt wenn man die Zahl nicht basierend auf dem Dezimalsystem, sondern etwa dem Stellwertsystem zur Basis 3 konstruiert. Der ursprüngliche Beweis stammt von Kurt Mahler (1946) und der Beweis erfordert nicht unbedingt den Satz von Thue-Siegel-Roth. ${\displaystyle \tau }$ ist keine Liouvillesche Zahl.