Satz von Stokes

Sei ${\displaystyle M}$ eine orientierte n-dimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abschnittsweise glattem Rand ${\displaystyle \partial M}$ mit induzierter Orientierung. Dies ist für die meisten anschaulichen Beispiele, wie die Vollkugel mit Rand (Sphäre) oder den Torus (Rettungsring), gegeben.

Sei ferner ${\displaystyle \omega }$ eine auf ${\displaystyle M}$ (bzw. in einer hinreichend großen offenen Umgebung) definierte alternierende Differentialform vom Grad ${\displaystyle n-1}$, die als stetig differenzierbar vorausgesetzt wird.

Dann gilt die folgende Aussage, die nach Stokes benannt wurde:

${\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega }$

wobei ${\displaystyle \mathrm {d} }$ die Cartan-Ableitung bezeichnet. Das rechte Integral kann man als Oberflächenintegral verstehen oder allgemeiner als Integral über die Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \partial M}$.

Die Cartan-Ableitung ${\displaystyle \mathrm {d} \omega }$ ist hier gewissermaßen „dual“ zu der topologischen Operation ${\displaystyle \partial M}$, wodurch sich die in dieser Formel enthaltene Querbeziehung zwischen Aspekten der Analysis und topologisch-algebraischen Aspekten ergibt.

Ein Normalgebiet

Unter der sehr allgemeinen Voraussetzung, dass ${\displaystyle \textstyle \omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,\omega _{i}}$   gilt, mit ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionalen Basisformen ${\displaystyle \omega _{i}}$, zum Beispiel mit

${\displaystyle \omega _{1}=\mathrm {d} x_{2}\wedge \mathrm {d} x_{3}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{n-1}\wedge \mathrm {d} x_{n},}$

${\displaystyle \omega _{2}=\mathrm {d} x_{3}\wedge \mathrm {d} x_{4}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} x_{1},\ldots ,}$

und mit dem äußeren Produkt ${\displaystyle \wedge }$, das unter anderem die Bedingung der Antisymmetrie erfüllt, ${\displaystyle -\mathrm {d} x_{k}\wedge \mathrm {d} x_{i}=\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{k}}$, besagt die äußere Ableitung konkret das Folgende:

${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \omega \equiv \sum _{k,i=1}^{n}\,{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}\mathrm {d} x_{k}\wedge \omega _{i}.}$

Besonders einfach wird der Beweis des „Hauptsatzes“, wenn wie beim nebenstehenden Beispiel eines Normalgebietes die Integrationsmannigfaltigkeit (in der Zeichnung ${\displaystyle D}$ genannt) in vertikale Streifen (in ${\displaystyle x_{n}}$-Richtung) so segmentiert werden kann, dass nur an der gelb eingezeichneten „Oberseite“ und an der rot eingezeichneten „Unterseite“ nichttriviale Beiträge entstehen, und zwar wegen der ebenfalls eingezeichneten Orientierung (die Pfeilrichtungen) mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Sei ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ offen und ${\displaystyle \omega }$ eine stetig differenzierbare ${\displaystyle (k-1)}$-Form in ${\displaystyle U}$. Dann gilt für jede orientierte kompakte randlose ${\displaystyle k}$-dimensionale Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle M\subset U}$ die Aussage:

${\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =0.}$

Sei ${\displaystyle \sigma$ :\Delta _{p}\to M} ein glatter ${\displaystyle p}$-Simplex und ${\displaystyle \omega }$ eine glatte, geschlossene Differentialform auf der glatten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Dann ist das Integral über ${\displaystyle \sigma }$ definiert durch

${\displaystyle \int _{\sigma }\omega =\int _{\Delta _{p}}\sigma ^{*}\omega }$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \sigma ^{*}\omega }$ den Rücktransport von ${\displaystyle \omega }$ bezüglich ${\displaystyle \sigma }$. Die Definition ergibt Sinn, da ${\displaystyle \Delta _{p}}$ eine glatte Untermannigfaltigkeit mit Rand und induzierter Orientierung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ist. (Oder man versteht ${\displaystyle \Delta _{p}}$ einfach als abgeschlossene Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$.) Im Fall ${\displaystyle p=1}$ entspricht die Definition dem gewöhnlichen Kurvenintegral. Ist ${\displaystyle \textstyle c=\sum _{i=1}^{k}c_{i}\sigma _{i}}$ eine glatte ${\displaystyle p}$-Kette des singulären Komplexes, dann ist das Integral von ${\displaystyle \omega }$ über ${\displaystyle c}$ definiert als

${\displaystyle \int _{c}\omega$ :=\sum _{i=1}^{k}c_{i}\int _{\sigma _{i}}\omega =\sum _{i=1}^{k}c_{i}\int _{\Delta _{p}}\sigma _{i}^{*}\omega .}

Für den Fall ${\displaystyle p=1}$ findet man die Definition und weitere Informationen im Artikel Zyklus (Funktionentheorie).

Sei ${\displaystyle c}$ eine glatte ${\displaystyle p}$-Kette des singulären Komplexes und ${\displaystyle \omega }$ eine glatte ${\displaystyle (p-1)}$-Differentialform auf der glatten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Dann gilt

${\displaystyle \int _{\partial c}\omega =\int _{c}\mathrm {d} \omega .}$

Mit ${\displaystyle \partial \colon C_{p}\to C_{p-1}}$ wird der Randoperator des singulären Komplexes bezeichnet.

Dieser Satz zeigt eine Verbindung zwischen differentialgeometrischen und topologischen Eigenschaften einer glatten Mannigfaltigkeit auf. Betrachtet man nämlich die De-Rham-Kohomologie ${\displaystyle H_{dR}^{*}(M)}$ und die singuläre Homologie ${\displaystyle H_{*}^{\text{sing}}(M)}$ von ${\displaystyle M}$, so erhält man durch

${\displaystyle {\begin{aligned}J\colon H_{dR}^{p}(M)&\to \operatorname {Hom} (H_{p}^{\text{sing}}(M),\mathbb {R} )\\\omega &\mapsto \left(c\mapsto \int _{c}\omega \right)\end{aligned}}}$

mit ${\displaystyle c\in H_{p}^{\text{sing}}(M)}$ einen Homomorphismus. Aufgrund des Satzes von Stokes ist dieser Homomorphismus wohldefiniert und es kommt nicht auf die Wahl des Repräsentanten ${\displaystyle c}$ der Homologieklasse an. Seien ${\displaystyle c_{1}}$ und ${\displaystyle c_{2}}$ zwei Repräsentanten der gleichen singulären Homologieklasse, dann gilt ${\displaystyle c_{1}-c_{2}=\partial b}$, denn zwei Repräsentanten unterscheiden sich nur um ein Element des Randes. Daher folgt mit dem Satz von Stokes

${\displaystyle \int _{c_{1}}\omega -\int _{c_{2}}\omega =\int _{\partial b}\omega =\int _{b}\mathrm {d} \omega =0.}$

Die letzte Gleichheit gilt, da ${\displaystyle \omega }$ ein Element der De-Rham-Kohomologie ist und daher ${\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}$ gilt. Ist ${\displaystyle \omega =\mathrm {d} \nu }$ eine exakte Differentialform, dann gilt

${\displaystyle \int _{c}\omega =\int _{c}\mathrm {d} \nu =\int _{\partial c}\nu =0.}$

Nach dem zentralen Satz von de Rham ist der Homomorphismus sogar ein Isomorphismus.

Sei ${\displaystyle (a,b)\subset \mathbb {R} }$ ein offenes Intervall und ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ eine stetig differenzierbare Funktion. Dann ist ${\displaystyle \mathrm {d} f(x)}$ eine 1-Form (sog. Pfaff'sche Form), und der allgemeine Stokes'sche Integralsatz entartet zu

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {d} f(x)=\int _{a}^{b}f'(x)\,\mathrm {d} x=\left.f(x)\right|_{a}^{b}=f(b)-f(a).}$

Dies ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Für eine kompakte Teilmenge ${\displaystyle V}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und ein n-dimensionales Vektorfeld ${\displaystyle \mathrm {F} }$ erhält man als einen weiteren Spezialfall den gaußschen Integralsatz.

${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} F\,\mathrm {d} V=\oint _{\partial V}\langle F,\nu \rangle \,\mathrm {d} S}$

Dabei ist ${\displaystyle \nu }$ der ${\displaystyle n}$-dimensionale Normalen-Einheitsvektor und die Integrale sind jetzt ${\displaystyle n}$- beziehungsweise ${\displaystyle (n-1)}$-dimensional, wobei die Größe ${\displaystyle \operatorname {div} F}$ auch als ${\displaystyle \nabla \cdot F}$ geschrieben wird. Wählt man

${\displaystyle \omega =F_{1}\mathrm {d} x_{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{n}+F_{2}\mathrm {d} x_{3}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} x_{1}+\ldots +F_{n}\mathrm {d} x_{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{n-1}}$

so ergibt sich der gaußsche Integralsatz aus dem stokesschen.

Man kann diesen Satz auch zur Definition der Divergenz eines Vektorfeldes benutzen, wobei diese Definition unabhängig von den benutzten Koordinaten ist.

Zum klassischen Satz von Stokes: Dargestellt ist die (gekrümmte) Fläche ${\displaystyle \Sigma }$, deren Randkurve ${\displaystyle \partial \Sigma }$ (angedeutet durch die Pfeile) und der Normalenvektor ${\displaystyle n}$ (im Text ${\displaystyle \nu }$ genannt).

George Stokes

William Thomson (Lord Kelvin)

Der klassische Integralsatz von Stokes ist auch als Satz von Kelvin-Stokes oder Rotationssatz bekannt. Er findet bei Physikern und Elektrotechnikern Anwendung vor allem im Zusammenhang mit den Maxwell-Gleichungen. Er besagt, dass ein Flächenintegral über die Rotation eines Vektorfeldes in ein geschlossenes Kurvenintegral über die Tangentialkomponente des Vektorfeldes umgewandelt werden kann. Dies ist hilfreich, da das Kurvenintegral das Vektorfeld allein enthält und in der Regel einfacher zu berechnen ist als Flächenintegrale, zumal dann, wenn die betrachtete Fläche gekrümmt ist. Darüber hinaus sind die Kurvenintegrale in vielen Anwendungen unmittelbar betroffen – und erst in zweiter Linie die zugehörigen Flächenintegrale –, zum Beispiel beim faradayschen Induktionsgesetz. Ist speziell ${\displaystyle \partial \Sigma }$ gegeben, so führt die Tatsache, dass viele verschiedene Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle \Sigma }$ in eine einzige geschlossene Randmannigfaltigkeit ${\displaystyle \partial \Sigma }$  „eingezwängt“ werden können, zur Eichinvarianz von Theorien wie der von Maxwell.

Es sei ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$ eine offene Teilmenge des dreidimensionalen Raumes und ${\displaystyle F\colon V\to \mathbb {R} ^{3}}$ ein auf ${\displaystyle V}$ definiertes einmal stetig differenzierbares Vektorfeld. Dies wird gefordert, damit der Ausdruck ${\displaystyle \operatorname {rot} (F)}$ gebildet werden kann. Weiter sei ${\displaystyle \Sigma \subset V}$ eine in ${\displaystyle V}$ enthaltene zweidimensionale reguläre Fläche, die durch ein Einheitsnormalenfeld ${\displaystyle \mathbf {\nu } }$ orientiert ist (das heißt, es sei definiert, was die „Oberseite“ der Fläche ist). Außerdem sei ${\displaystyle \tau }$ der Tangenteneinheitsvektor der Randkurve. Mit der Eigenschaft regulär wird sichergestellt, dass der Rand hinreichend glatt ist.

Der Rand von ${\displaystyle \Sigma }$ wird mit ${\displaystyle \partial \Sigma }$ bezeichnet. Im Folgenden wird dieser Rand ${\displaystyle \partial \Sigma }$ stets mit einer geschlossenen Kurve identifiziert. Mit all diesen Voraussetzungen gilt

${\displaystyle \int _{\Sigma }\langle \operatorname {rot} \,F,\mathbf {\nu } \rangle \,\mathrm {d} S=\oint _{\partial \Sigma }\langle F,\mathbf {\tau } \rangle \,\mathrm {d} s}$.

In den Anwendungen schreibt man auch

${\displaystyle \iint _{\Sigma \,\subset \,\mathbb {R} ^{3}}\mathrm {rot} (F)\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=\oint _{\partial \Sigma }F\cdot \mathrm {d} r}$

mit ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}=\nu \,\mathrm {d} S}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} r=\tau \,\mathrm {ds} }$. Ferner sind ${\displaystyle \operatorname {rot} F}$ die Rotation und ${\displaystyle \langle V_{1},V_{2}\rangle }$ (beziehungsweise ${\displaystyle V_{1}\cdot V_{2}}$) das Skalarprodukt der zwei Vektoren ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$. Die Form ${\displaystyle \mathrm {d} S}$ ist die Volumenform der zweidimensionalen Fläche ${\displaystyle \Sigma }$ und ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ ist das Längenelement der Randkurve.

In dem Fall, dass ${\displaystyle \Sigma }$ eine flache Teilmenge darstellt, gilt in geeigneten Koordinaten ${\displaystyle \mathrm {d} S\equiv \mathrm {d} x\mathrm {d} y}$. Ist ${\displaystyle \Sigma }$ nicht flach, so lässt sich unter der Voraussetzung, dass sich die zweidimensionale Fläche mit der Parametrisierung

${\displaystyle r(u,v)_{\,|i}=\{x(u,v),\,\,y(u,v),z(u,v)\}_{\,|i}}$ mit ${\displaystyle a_{\,i}\leq u\leq b_{\,i}\,\,,c_{\,i}\leq v\leq d_{\,i}\,,i=1,\ldots ,N}$

in ${\displaystyle N}$ Segmente zerlegen lässt, die Volumenform für festes ${\displaystyle i}$ durch

${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} S\equiv {\sqrt {\left({\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial y}{\partial v}}-{\frac {\partial y}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial u}}{\frac {\partial z}{\partial v}}-{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}-{\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial z}{\partial v}}\right)^{2}\,}}\mathrm {d} u\mathrm {d} v}$

berechnen. Auch der Vektor ${\displaystyle \nu }$ lässt sich analog berechnen, und zwar ist ${\displaystyle \nu }$ der aus den drei Komponenten des Vektorprodukts ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\tfrac {\partial r}{\partial u}}\times {\tfrac {\partial r}{\partial v}}}$ gebildete Einheitsvektor, das heißt

${\displaystyle a_{1}={\frac {\partial y}{\partial u}}{\frac {\partial z}{\partial v}}-{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial y}{\partial v}},\ a_{2}={\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}-{\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial z}{\partial v}},\ a_{3}={\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial y}{\partial v}}-{\frac {\partial y}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}}$.

Es sei ${\displaystyle \Sigma }$ eine als Normalgebiet bezeichnete flache Mannigfaltigkeit, welche den Anforderungen des Satzes genügt, und das Vektorfeld ${\displaystyle F}$ gegeben durch ${\displaystyle \,F=(v_{1},v_{2},0)}$. Das Einheitsnormalenfeld ${\displaystyle \nu }$ sei gegeben durch ${\displaystyle \,\nu =(0,0,1)\,.}$ Dann gilt

${\displaystyle \langle \operatorname {rot} F,\nu \rangle ={\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{1}}{\partial y}}.}$

Nach dem Satz von Stokes gilt

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\langle F,\tau \rangle \,\mathrm {d} s=\iint _{\Sigma }\langle \operatorname {rot} \,F,\nu \rangle \,\mathrm {d} S=\iint _{\Sigma }\left({\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{1}}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y.}$

Dieses Beispiel zeigt, dass der Satz von Green ein Spezialfall des stokesschen Integralsatzes ist.