Satz von Serre und Swan

Zu einem Vektorbündel ${\displaystyle E\to X}$ über einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ sei ${\displaystyle \Gamma (E)}$ der Vektorraum seiner Schnitte. Dieser ist ein Modul über dem Ring ${\displaystyle C(X)}$ der stetigen Funktionen.

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ein endlich erzeugter, projektiver ${\displaystyle C(X)}$-Modul ist.

Sei ${\displaystyle \mathrm {Vect} (X)}$ die Halbgruppe der Isomorphieklassen der Vektorbündel über ${\displaystyle X}$ mit der Whitney-Summe ${\displaystyle \oplus }$ als Verknüpfung und ${\displaystyle \mathrm {Proj} (C(X))}$ die Halbgruppe der Isomorphieklassen endlich erzeugter, projektiver ${\displaystyle C(X)}$-Moduln. Die auf Vertretern definierte Zuordnung

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \colon \mathrm {Vect} (X)&\to \mathrm {Proj} (C(X))\\E&\mapsto \Gamma (E)\end{aligned}}}$

ist wohldefiniert und ein Homomorphismus von Monoiden, das heißt, es gilt ${\displaystyle \Gamma (E_{1}\oplus E_{2})=\Gamma (E_{1})\oplus \Gamma (E_{2})}$. In dieser Formel wird nicht zwischen Isomorphieklassen und Vertretern daraus unterschieden, was wegen der Wohldefiniertheit möglich ist.

Der Satz von Serre und Swan besagt, dass für einen kompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$ diese Zuordnung eine Bijektion ${\displaystyle \mathrm {Vect} (X)\to \mathrm {Proj} (C(X))}$ ist.

Da die topologische K-Theorie eines Raumes ${\displaystyle X}$ die Grothendieck-Gruppe der Halbgruppe ${\displaystyle \mathrm {Vect} (X)}$ und die topologische K-Theorie der Banachalgebra ${\displaystyle C(X)}$ die Grothendieck-Gruppe der Halbgruppe ${\displaystyle \mathrm {Proj} (C(X))}$ ist, folgt aus dem Satz von Serre und Swan unmittelbar der Isomorphismus

${\displaystyle K^{0}(X)\cong K_{0}(C(X))}$

für jeden kompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$.

• Jean-Pierre Serre: Faisceaux algébriques cohérents. In: Annals of Mathematics. 61 (2), 197–278 (1955).
• Richard Swan: Vector bundles and projective modules. In: Transactions of the American Mathematical Society. 105 (2), 264–277 (1962).