Satz von Schur-Zassenhaus

Der Satz von Schur-Zassenhaus ist ein mathematischer Satz in der Gruppentheorie. Der nach Issai Schur und Hans Julius Zassenhaus benannte Satz lautet[1]:

Für eine endliche Gruppe $G$ und einen Normalteiler $N\triangleleft G$ mit $\operatorname {ggT} (|N|,[G:N])=1$ existiert eine Untergruppe $U\leq G$ mit $G\,=\,NU$ und $N\cap U\,=\,1$ . Die Gruppe $G$ ist also das semidirekte Produkt $G=N\times _{\theta }U$ aus $N$ und $U$ .

Die Untergruppe $U$ in obigem Satz ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, aber man kann zeigen, dass je zwei solche Untergruppen konjugiert sind.

Beispiele

Die zyklische Gruppe $G=\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},\ldots ,{\overline {5}}\}$ hat den Normalteiler $N=\{{\overline {0}},{\overline {2}},{\overline {4}}\}$ . Da die Zahlen $|N|=3$ und $[G:N]=2$ teilerfremd sind, kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden. $U=\{{\overline {0}},{\overline {3}}\}$ ist offenbar die einzige Untergruppe, die die Aussage des Satzes erfüllt. Da die Gruppe $G$ abelsch ist, ist das semidirekte Produkt in diesem Fall sogar direkt.

Die symmetrische Gruppe $G=S_{3}=\{e,d,d^{2},s_{1},s_{2},s_{3}\}$ hat den Normalteiler $N=\{e,d,d^{2}\}$ . Wegen $|N|=3$ und $[G:N]=2$ kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden, offenbar erfüllen die drei Untergruppen $U_{i}=\{e,s_{i}\},\,i=1,2,3$ die Aussage des Satzes.

Die zyklische Gruppe $G=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}$ hat den Normalteiler $N=\{{\overline {0}},{\overline {2}}\}$ . Hier sind $|N|=2$ und $[G:N]=2$ nicht teilerfremd, weshalb der Satz nicht anwendbar ist. Tatsächlich gibt es keine Untergruppe $U\subset G$ , die die Aussage des Satzes erfüllt, denn eine solche müsste ein Element der Ordnung 2 haben, aber das einzige Element der Ordnung 2 ist ${\overline {2}}$ und das liegt bereits in $N$ . Dieses Beispiel zeigt, dass auf die Teilerfremdheit von $|N|$ und $[G:N]$ in obigem Satz nicht verzichtet werden kann.

Ist $N$ irgendeine Gruppe, so zeigt das Beispiel $G=N\times N$ , dass die Teilerfremdheitsbedingung nicht notwendig ist für das Bestehen einer Darstellung als semidirektes, ja sogar direktes, Produkt.

Einzelnachweise

Rowen B. Bell, J. L. Alperin: Groups and Representations, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Band 162, ISBN 0-387-94526-1 (Kapitel 9: The Schur-Zassenhaus-Theorem)

Quellen

Andreas Nickel: Basiswissen Algebra (PDF; 544 kB), Universität Regensburg, S. 6

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[1] Rowen B. Bell, J. L. Alperin: Groups and Representations, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Band 162, ISBN 0-387-94526-1 (Kapitel 9: The Schur-Zassenhaus-Theorem)