Satz von Pratt

Gegeben sei ein Maßraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ und eine Folge von messbaren Funktionen

${\displaystyle (f_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }}$

aus ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}(\mu )}$, die lokal nach Maß gegen ${\displaystyle f}$ konvergiert. Außerdem sei die Menge ${\displaystyle \{f\neq 0\}}$ σ-endlich.

Existieren nun ${\displaystyle g,h\colon X\to \mathbb {R} ,(g_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} },(h_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}(\mu )}$, für die gilt:

1. ${\displaystyle (g_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert lokal nach Maß gegen ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle (h_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert lokal nach Maß gegen ${\displaystyle h}$.
2. Für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt ${\displaystyle \mu }$-fast überall

   ${\displaystyle g_{n}\leq f_{n}\leq h_{n}}$.

3. Es ist

   ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}g_{n}\mathrm {d} \mu =\int _{X}g\mathrm {d} \mu {\text{ und }}\lim _{n\to \infty }\int _{X}h_{n}\mathrm {d} \mu =\int _{X}h\mathrm {d} \mu }$.

Dann ist auch ${\displaystyle f}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}(\mu )}$ und es gilt

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu =\int _{X}f\mathrm {d} \mu }$.

Aus dem Satz folgt direkt eine Abwandlung des Satzes von der majorisierten Konvergenz. Ist mit den Voraussetzungen wie oben in der Definition ${\displaystyle m}$ eine integrierbare positive Majorante von ${\displaystyle f}$,

so ist bereits ${\displaystyle f}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}(\mu )}$ und es gilt

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu =\int _{X}f\mathrm {d} \mu }$.

Dazu setzt man als Funktionenfolgen

${\displaystyle g_{n}=g=-m{\text{ und }}h_{n}=h=m}$.

Aufgrund der Konstanz der Funktionenfolgen ist die Vertauschung von Grenzwert und Integral gegeben und die ${\displaystyle g_{n},g,h_{n},h}$ sind integrierbar, da sie mit der integrierbaren Majorante übereinstimmen. Außerdem konvergieren die Funktionenfolgen auch lokal nach Maß, da sie konstant sind. Es wie beim Satz von der majorisierten Konvergenz ${\displaystyle |f_{n}|\leq m}$ beziehungsweise ${\displaystyle g_{n}\leq f_{n}\leq h_{n}}$ fast überall. Somit sind alle drei Voraussetzungen erfüllt und der Satz von Pratt liefert die Aussage.

Im Unterschied zum Satz von der majorisierten Konvergenz gilt hier aber bereits die Aussage, wenn die ${\displaystyle f_{n}}$ lokal nach Maß gegen ${\displaystyle f}$ konvergieren und nicht wie ursprünglich bei der majorisierten Konvergenz gefordert punktweise fast überall.

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.