Satz von Poincaré-Hopf

Sei ${\displaystyle X\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ein Vektorfeld und ${\displaystyle z}$ eine isolierte Nullstelle, das heißt, es gibt einen abgeschlossenen Ball ${\displaystyle Q}$ um ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle X|_{Q\setminus \{z\}}\neq 0}$. Der Index des Vektorfeldes am Punkt ${\displaystyle z}$ ist der Abbildungsgrad der Abbildung

${\displaystyle f\colon \partial Q\to \mathbb {S} ^{n-1},\qquad x\mapsto {\frac {X(x)}{\|X(x)\|}}.}$

und wird mit ${\displaystyle \operatorname {ind} (X,z)}$ notiert. Diese Definition lässt sich wie folgt auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Ist ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ ein Vektorfeld, so wähle eine Karte ${\displaystyle (U,\phi )}$ um ${\displaystyle z}$, so dass ${\displaystyle Q\subset U}$ gilt. Dann lässt sich obige Definition des Indexes auf das im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ liegende Kartengebiet übertragen, und das erweist sich als unabhängig von der Wahl der Karte.

Der Vollständigkeit halber wird zuerst die von Henri Poincaré im Jahr 1881 gefundene Aussage dargestellt. Sei ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}$ eine kompakte Fläche mit induzierter Metrik. Außerdem sei ${\displaystyle X\in \Gamma (TS)}$ ein glattes Vektorfeld mit einer endlichen Anzahl an isolierten singulären Punkten ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$. Dann gilt

${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}\operatorname {ind} (X,A_{j})=\chi (S).}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \chi (S)}$ die Euler-Charakteristik von ${\displaystyle S}$. Das heißt also: Die Euler-Charakteristik von ${\displaystyle S}$ ist gleich der Summe über die Indices aller isolierten singulären Punkte von ${\displaystyle X}$.

Der Satz von Poincaré-Hopf wurde 1926 von Hopf als Verallgemeinerung des Satzes von Poincaré bewiesen. Sei ${\displaystyle M}$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ${\displaystyle X}$ ein Vektorfeld auf ${\displaystyle M}$, das nur endlich viele, isolierte Nullstellen ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ besitzt. Dann gilt

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\mathrm {ind} (X,A_{i})=\chi (M).}$

Hat ${\displaystyle M}$ einen Rand, so muss ${\displaystyle X}$ auf dem Rand in Richtung der äußeren Normalen zeigen.

• Satz von der Isoliertheit der Nullstellen

• M. Hazewinkel: Poincaré–Hopf theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
• Paul Alexandroff, Heinz Hopf: Topologie. Band 1: Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie, Topologie der Komplexe, topologische Invarianzsätze und anschliessende Begriffsbildungen, Verschlingungen im n-dimensionalen Euklidischen Raum, stetige Abbildungen von Polyedern. Springer, Berlin 1935, S. 549 (Berichtigter Reprint. ebenda 1974, ISBN 3-540-06296-3) (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 45, ISSN 0072-7830)