Napoleon-Dreieck

Napoleon-Dreieck, benannt nach dem französischen Feldherrn und Kaiser Napoléon Bonaparte, ist ein Begriff der Dreiecksgeometrie.

Figur 1: Napoleon-Dreieck (grün)

Definition

Über den Seiten eines gegebenen Dreiecks ABC werden drei gleichseitige Dreiecke gezeichnet und in diesen jeweils die Geometrischen Schwerpunkte (Flächenschwerpunkte) eingetragen. Das Napoleon-Dreieck entsteht durch Verbinden dieser Schwerpunkte.

Werden die gleichseitigen Dreiecke nach außen gerichtet angelegt, so ergibt die Schwerpunktsverbindung das äußere Napoleon-Dreieck, bei Anlage der gleichseitigen Dreiecke nach innen hin erhält man das Innere Napoleon-Dreieck.

Das Napoleon-Dreieck ist – unabhängig von der Form des ursprünglichen Dreiecks – stets gleichseitig, diese Aussage wird auch als Satz von Napoleon bezeichnet.[1]

Es gibt keine bekannten Hinweise, dass dieser Satz von Napoleon gefunden wurde. In der Zeitschrift The Ladies’ Diary wurde der Satz 1825 von dem britischen Mathematiker William Rutherford erwähnt.[2][1]

Eigenschaften

Figur 2: Sechseck-Erweiterung (grün)

Schwerpunkte von Teildreiecken

Der Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks fällt mit dem Schwerpunkt des äußeren Napoleon-Dreiecks und mit dem Schwerpunkt des inneren Napoleon-Dreiecks zusammen.

Flächeninhalte von Teildreiecken

Bildet man die Differenz der Flächeninhalte des äußeren Napoleon-Dreiecks und des inneren Napoleon-Dreiecks, so erhält man den Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks $ABC$ .

Entstehung von Sechsecken

Setzt man die an einer Seite des Dreiecks $AFB$ angefügte Figur $ABECD$ auch an den beiden anderen Seiten des Dreiecks $AFB$ an (Figur 1), so entsteht eine unregelmäßige sternförmige Figur mit sechs äußeren Dreiecken (Figur 2). Die Schwerpunkte dieser sechs Dreiecke sind Eckpunkte des regelmäßigen Sechsecks $PQRSTU$ , dessen drei Diagonalen sich im Schwerpunkt $V$ des Napoleon-Dreiecks $GHK$ schneiden.

Parkettierung

Das unregelmäßige Sechseck (Figur 3) setzt sich zusammen aus den vier Teildreiecken der Figur $AFBECD$ , wobei das innere Dreieck $ABC$ insgesamt dreimal vorkommt. Mit diesem aus vier Teildreiecken bestehenden Sechseck lässt sich die Ebene parkettieren (Figur 4).[3]

(Zur besseren Abgrenzung der Parkettbestandteile wurden verschiedene Farben verwendet.)

Figur 3: Unregelmäßiges Sechseck (Parkett-Detail)
Figur 4: Parkettierung mit Napoleon-Figuren

Folgerung

Figur 6

Figur 5

Die Seiten eines Dreiecks $ABC$ seien in jeweils drei gleichlange Abschnitte unterteilt. Über jedem der drei mittleren Abschnitte sei ein gleichseitiges Dreieck außerhalb von $ABC$ errichtet. Dann bilden die Eckpunkte $D$ , $E$ und $F$ dieser gleichseitigen Dreiecke, die nicht auf den Seiten von $ABC$ liegen, ein weiteres gleichseitiges Dreieck. (Figur 5)

Beweis:

Die äußeren Eckpunkte der gelben gleichseitigen Dreiecke sind gleichzeitig Schwerpunkte der Dreiecke über den Seiten von

ABC

. Deshalb ist das rot umrandete Dreieck das zu

ABC

gehörige Napoleon-Dreieck und damit gleichseitig. (Figur 6)[4]

Verallgemeinerung

Ersetzt man in der Definition die drei gleichseitigen Dreiecke durch ähnliche gleichschenklige Dreiecke, so spricht man von einem Kiepert-Dreieck.

Siehe auch

Literatur

H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983

Weblinks

Napoleon-Dreieck – eine Visualisierung mit dem dynamischen Geometrieprogramm GeoGebra
Eric W. Weisstein: Inner Napoleon Triangle. In: MathWorld (englisch).
Eric W. Weisstein: Outer Napoleon Triangle. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

Branko Grünbaum: Is Napoleon’s Theorem Really Napoleon’s Theorem?. In: The American Mathematical Monthly, Band 119, Nr. 6 (Juni‒Juli 2012), S. 495–501 (online, JSTOR)
Ulf von Rauchhaupt: Napoleon’s Theorem. In: FAZ.net. 15. August 2019, abgerufen am 24. April 2021.
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 90 und 91
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 98 und 279

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[bg-1] Branko Grünbaum: Is Napoleon’s Theorem Really Napoleon’s Theorem?. In: The American Mathematical Monthly, Band 119, Nr. 6 (Juni‒Juli 2012), S. 495–501 (online, JSTOR)

[2] Ulf von Rauchhaupt: Napoleon’s Theorem. In: FAZ.net. 15. August 2019, abgerufen am 24. April 2021.

[3] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 90 und 91

[4] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 98 und 279