Satz von Monge (Elementargeometrie)

Der Satz von Monge ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, welcher auf den französischen Mathematiker Gaspard Monge zurückgeht. Der Satz behandelt eine Eigenschaft von Kreisen der euklidischen Ebene im Zusammenhang mit zentrischen Streckungen.

Satz von Monge
Die drei äußeren Streckungszentren liegen auf einer gemeinsamen (roten) Geraden.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:[1][2][3]

Für je drei paarweise getrennt liegende Kreise der euklidischen Ebene mit verschiedenen Radien, welche durch drei zentrische Streckungen ineinander überführt werden, sind die drei äußeren Streckungszentren stets auf einer Geraden gelegen.[4]

Erläuterungen
  1. In der euklidischen Ebene liegen zwei Kreise getrennt, wenn die zugehörigen Kreisscheiben disjunkt sind.
  2. In der euklidischen Ebene erhält man das äußere Streckzentrum zweier getrennt liegender Kreise mit unterschiedlichen Radien als Schnittpunkt der beiden äußeren Kreistangenten. Dieser Schnittpunkt liegt also nicht auf der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.

Historische Anmerkung
  • Der Satz wurde von Jean-Baptiste le Rond d’Alembert behauptet und dann von Gaspard Monge bewiesen.[3] Monge veröffentlichte den Beweis 1798 in seinen Buch Géometrié descriptive, es wird allerdings vermutet, dass die Aussage möglicherweise schon in der griechischen Mathematik bekannt gewesen ist.[5]

Literatur
  • Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 2. F–K. Aulis Verlag Deubner & CO KG, Köln 1977, ISBN 3-7614-0242-2, S. 404–405.
  • Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965.
  • Johannes Kratz, Karl Wörle: Geometrie. II. Teil. Mit Trigonometrie (= Mathematik für Gymnasien). 4., überarbeitete Auflage. Bayerischer Schulbuchverlag, München 1968.
  • David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books, München 1991, ISBN 0-14-011813-6.
  • Günther Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 9783662453063, S. 28

Fußnoten und Einzelnachweise
  1. Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer: Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 1965, S. 152
  2. Johannes Kratz, Karl Wörle: Geometrie. II. Teil. 1968, S. 66
  3. David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry 1991, S. 153–154
  4. Statt Streckungszentrum wird auch Ähnlichkeitspunkt gesagt.
  5. Günther Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 9783662453063, S. 28
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