Satz von Moivre-Laplace

Sei ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\cdots }$ eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch bernoulli-verteilter Zufallsvariablen mit dem Parameter ${\displaystyle p\in (0,1)}$. Dann ist die Summe ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ binomialverteilt mit den Parametern ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle p\in (0,1)}$. Die Zufallsvariable ${\displaystyle S_{n}}$ hat den Erwartungswert ${\displaystyle \mu _{n}:=\operatorname {E} [S_{n}]=np}$ und die positive Standardabweichung ${\displaystyle \sigma _{n}:={\sqrt {\operatorname {Var} [S_{n}]}}={\sqrt {np(1-p)}}}$. ${\displaystyle \Phi }$ bezeichne die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und ${\displaystyle \varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}}$ bezeichne die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und der Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Dann gelten der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\operatorname {P} (S_{n}=k)}{\varphi _{\mu _{n},\sigma _{n}^{2}}(k)}}=1,\quad k=0,1,\dots ,n}$

und der globale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \left({\frac {S_{n}-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}\leq t\right)=\Phi (t)\quad {\text{für alle }}t\in \mathbb {R} \;.}$

Der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsvariablen für ${\displaystyle n\to \infty }$ gegen die Werte der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz konvergieren. Er dient zur Rechtfertigung der Approximation

${\displaystyle \operatorname {P} \left(S_{n}=k\right)\approx {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{n}}}\exp \left(-\left({\frac {k-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}\right)^{2}\right)=\varphi _{\mu _{n},\sigma _{n}^{2}}(k),\quad k=0,1,\dots ,n\;,}$

wobei auf der rechten Seite des Approximationszeichens die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen mit der Normalverteilung ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{n},\sigma _{n}^{2})}$ an der Stelle ${\displaystyle k}$ steht.

Der globale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace ist ein spezieller zentraler Grenzwertsatz, der besagt, dass die standardisierten Zufallsvariablen ${\displaystyle {\frac {S_{n}-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}}$ für ${\displaystyle n\to \infty }$ in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergieren. Er wird auch in der Form

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|\operatorname {P} (S_{n}\leq t)-\Phi \left({\frac {t-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}\right)\right|=0\quad \quad {\text{für alle }}t\in \mathbb {R} }$

angegeben, die die theoretische Grundlage der Normal-Approximation ist.

Dies ist eine Methode, mit der Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine Binomialverteilung durch Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine Normalverteilung mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz approximiert werden können. Ausgehend von der Approximation ${\displaystyle \mathrm {Bin} (n,p)\approx {\mathcal {N}}(\mu _{n},\sigma _{n}^{2})}$ kann die Verteilungsfunktion der binomialverteilten Zufallsvariable ${\displaystyle S_{n}}$ mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung angenähert werden, in dem man die Approximation

${\displaystyle P(S_{n}\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}\right)}$

verwendet. Bei der Normal-Approximation wird zur Verringerung des Näherungsfehlers noch zusätzlich eine sogenannte Stetigkeitskorrektur eingeführt, die den Fehler kompensieren soll, der durch den Übergang von einer diskreten zu einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung verursacht wird.

• Hans Fischer: A History of the Central Limit Theorem – From Classical to Modern Probability Theorem (= Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences). Springer, New York / Dordrecht / Heidelberg / London 2011, ISBN 978-0-387-87857-7.
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 13., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63839-2, S. 226–232, doi:10.1007/978-3-662-63840-8.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5, doi:10.1007/978-3-322-93581-6, S. 80–83.
• P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Zentraler Grenzwertsatz (central limit theorem), S. 507–509.

Wikibooks: Beweis des Satzes von Moivre-Laplace

• Binomial- und Normalverteilung – Online-Lehrgang mit dynamischen Arbeitsblättern (Java-Plugin benötigt)

1. P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Zentraler Grenzwertsatz (central limit theorem), S. 508.
2. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 13., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63839-2, S. 226, doi:10.1007/978-3-662-63840-8.
3. A.V. Prokhorov: Laplace theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).