Satz von Malgrange-Ehrenpreis

Ein linearer partieller Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten entsteht aus einem Polynom ${\displaystyle P}$ in ${\displaystyle n}$ Unbestimmten, indem für die ${\displaystyle i}$-te Unbestimme die partielle Ableitung ${\displaystyle D_{i}={\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ eingesetzt wird. Ist

${\displaystyle P=P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=0}^{N}\beta _{j_{1},\ldots ,j_{n}}x_{1}^{j_{1}}\ldots x_{n}^{j_{n}}}$

mit Koeffizienten ${\displaystyle \beta _{j_{1},\ldots ,j_{n}}\in \mathbb {C} }$, wobei die obere Summationsgrenze ${\displaystyle N}$ eine feste natürliche Zahl ist, so ist

${\displaystyle P(D)=P(D_{1},\ldots ,D_{n})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=0}^{N}\beta _{j_{1},\ldots ,j_{n}}{\frac {\partial ^{j_{1}}}{\partial x_{1}^{j_{1}}}}\ldots {\frac {\partial ^{j_{n}}}{\partial x_{n}^{j_{n}}}}}$

und die partielle Differentialgleichung

${\displaystyle P(D)u=f}$

bei vorgegebener rechter Seite ${\displaystyle f}$ heißt lineare partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, da die Koeffizienten ${\displaystyle \beta _{j_{1},\ldots ,j_{n}}}$ keine Funktionen der Variablen, sondern Konstanten sind. Die Wellengleichung und die Poisson-Gleichung sind typische Beispiele.

Obige Differentialgleichung ist nun nicht nur für Funktionen, sondern auch für Distributionen sinnvoll. Nimmt man als rechte Seite die Delta-Distribution, so heißt eine Distributionslösung ${\displaystyle G}$ der Gleichung eine Greensche Funktion der Gleichung, auch wenn es sich nicht um eine klassische Funktion handelt. Ist nun ${\displaystyle f}$ irgendeine rechte Seite und kann man die Faltung ${\displaystyle G*f}$ bilden, so ist ${\displaystyle u=G*f}$ wegen der konstanten Koeffizienten eine Lösung von ${\displaystyle P(D)u=f}$.

Daher gilt die Differentialgleichung mit dem Auffinden einer Greenschen Funktion als gelöst. Das unterstreicht die Bedeutung des folgenden Satzes:

Satz von Malgrange-Ehrenpreis: Es sei ${\displaystyle P(D)}$ ein linearer partieller Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten. Dann besitzt die zugehörige partielle Differentialgleichung eine Greensche Funktion.[4][5]

Die ursprünglichen Beweise verwendeten den Satz von Hahn-Banach und waren daher nicht-konstruktiv. Mittlerweile sind auch konstruktive Beweise bekannt.[6]

Naheliegende Verallgemeinerungen auf lineare partielle Differentialgleichungen mit nicht-konstanten Koeffizienten gelten nicht, wie das Beispiel von Lewy belegt.

1. Bernard Malgrange: Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution., Ann. Inst. Fourier, Band 6 (1955–1956), Seiten 271–355
2. Leon Ehrenpreis: Solution of some problems of division. I. Division by a polynomial of derivation., Amer. J. Math., Band 76 (1954), Seiten 883–903
3. Leon Ehrenpreis: Solution of some problems of division. II. Division by a punctual distribution., Amer. J. Math., Band 77 (1955), Seiten 286–292
4. Milan Miklavcic: Applied Functional Analysis and Partial Differential Equations, World Scientific Pub Co (1998), ISBN 981-02-3535-6, Theorem 3.3.4
5. Kosaku Yosida: Functional Analysis. Classics in Mathematics., Springer-Verlag (1995), ISBN 3-540-58654-7, Kapitel VI, Abschnitt 10: The Malgrange-Ehrenpreis Theorem
6. Peter Wagner: A new constructive proof of the Malgrange-Ehrenpreis theorem, Amer. Math. Monthly, Band 116 (2009), Seiten 457–462