Satz von Madsen und Weiss

Sei ${\displaystyle \Sigma _{g,b}}$ die kompakte, orientierbare Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g}$ mit ${\displaystyle b}$ Randkomponenten, und sei ${\displaystyle \Gamma _{g,b}}$ ihre Abbildungsklassengruppen, deren Repräsentanten also per Definition alle Randkomponenten festlassen.

Für ${\displaystyle b>0}$ ist

${\displaystyle \Phi \colon \Gamma _{g,b}\to \Gamma _{g+1,b}}$

dadurch definiert, dass die Repräsentanten durch die Identitätsabbildung auf dem zusätzlichen Henkel fortgesetzt werden.

Der Stabilitätssatz von Harer besagt, dass ${\displaystyle \Phi }$ einen Isomorphismus in Gruppenkohomologie in Graden ${\displaystyle *\leq {\frac {2}{3}}(g-1)}$ induziert und dass in diesem Bereich die Kohomologiegruppen unabhängig von ${\displaystyle b>0}$ sind, man sich also auf ${\displaystyle b=1}$ beschränken kann.

Man kann also die stabile Kohomologie der Abbildungsklassengruppe definieren als ${\displaystyle H^{*}(B\Gamma _{g,1})}$ für hinreichend große ${\displaystyle g}$. Die stabile Kohomologie wird notiert als ${\displaystyle H^{*}(B\Gamma _{\infty })}$.

Die Mumford-Vermutung besagte, dass

${\displaystyle H^{*}(B\Gamma _{\infty };\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \left[\kappa _{1},\kappa _{2},\ldots \right]}$

mit den Morita-Miller-Mumford-Klassen ${\displaystyle \kappa _{i}\in H^{2i}(B\Gamma _{\infty };\mathbb {Q} )}$ ist. (Mumford formulierte diese Vermutung für die Kohomologie des Modulraums Riemannscher Flächen, was für rationale Koeffizienten aber mit der Kohomologie der Abbildungsklassengruppe übereinstimmt.)

Madsen-Weiss bewiesen, dass man eine Homotopieäquivalenz

${\displaystyle \mathbb {Z} \times B\Gamma _{\infty }^{+}\to \Omega ^{\infty }\mathbb {C} P_{-1}^{\infty }}$

hat. Daraus folgt insbesondere die Mumford-Vermutung.

Für ${\displaystyle W_{g}=\sharp ^{g}S^{n}\times S^{n}}$ ist ${\displaystyle \lim _{g\to \infty }H^{*}(B\mathrm {Diff} (W_{g},D^{2n});\mathbb {Q} )}$ die von den verallgemeinerten Morita-Miller-Mumford-Klassen ${\displaystyle \kappa _{c}}$ erzeugte Algebra, wobei ${\displaystyle c\in H^{*}(B\mathrm {SO} (2n);\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \left[p_{1},\ldots ,p_{n-1},e\right]}$ alle Monome vom Grad größer als ${\displaystyle 2n}$ durchläuft, in denen ${\displaystyle p_{i}}$ für ${\displaystyle i<{\frac {n}{4}}}$ nicht vorkommt.[1]

• G. Powell: The Mumford conjecture (after Madsen and Weiss). Séminaire Bourbaki. Vol. 2004/2005. Astérisque 307 (2006), Exp. No. 944, 247–282
• I. Madsen, M. Weiss: The stable moduli space of Riemann surfaces: Mumford's conjecture. Ann. of Math. (2) 165 (2007), no. 3, 843–941.
• S. Galatius, I. Madsen, U. Tillmann, M. Weiss: The homotopy type of the cobordism category. Acta Math. 202 (2009), no. 2, 195–239.
• Y. Eliashberg, S. Galatius, N. Mishachev: Madsen-Weiss for geometrically minded topologists. Geom. Topol. 15 (2011), no. 1, 411–472.

• A. Hatcher: A short exposition of the Madsen-Weiss theorem
• N. Wahl: The Mumford conjecture, Madsen-Weiss and homological stability for mapping class groups of surfaces
• S. Galatius: Lectures on the Madsen-Weiss Theorem

1. S. Galatius, O. Randal-Williams: Stable moduli spaces of high-dimensional manifolds. Acta Math. 212 (2014), no. 2, 257–377.