Satz von Levi (Lie-Algebra)

Das mit ${\displaystyle \mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})}$ bezeichnete Radikal einer Lie-Algebra ist das größte in ihr enthaltene auflösbare Ideal. Der Quotient ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})}$ nach dem Radikal hat kein Radikal, das heißt, das Radikal ist der Nullraum und ist definitionsgemäß halbeinfach.

Es sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie-Algebra. Dann gibt es eine halbeinfache Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {s}}\subset {\mathfrak {g}}}$ mit ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}\oplus \mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})}$ (Vektorraumsumme).

Da ${\displaystyle \mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {g}}}$ ein Ideal ist, handelt es sich sogar um eine semidirekte Summe ${\displaystyle {\mathfrak {s}}\ltimes \mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})}$ von Lie-Algebren.

Da ${\displaystyle \mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {g}}}$ ein Ideal ist, erhält man eine kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})\rightarrow {\mathfrak {g}}\,{\xrightarrow {\varphi }}\,{\mathfrak {g}}/\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})\rightarrow 0}$.

Die oben genannte Zerlegung in eine Vektorraumsumme ergibt sich sofort, wenn das Zerfallen dieser Sequenz gezeigt ist, das heißt die Existenz eines Lie-Algebren-Homomorphismus ${\displaystyle \psi$ :{\mathfrak {g}}/\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})\rightarrow {\mathfrak {g}}} , so dass ${\displaystyle \varphi \circ \psi }$ die identische Abbildung auf ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ist. ${\displaystyle {\mathfrak {s}}:=\psi ({\mathfrak {g}}/\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}}))}$ leistet dann das Verlangte. Das ist genau der Inhalt des folgenden Satzes, der mit Hilfe des 2-ten Lemmas von Whitehead bewiesen werden kann:[2]

Es sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie-Algebra. Dann zerfällt die kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})\rightarrow {\mathfrak {g}}\,{\xrightarrow {\varphi }}\,{\mathfrak {g}}/\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})\rightarrow 0}$.

Der Satz von Levi ist ein einfaches Korollar dieses Satzes.[3]

Eine halbeinfache Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {s}}\subset {\mathfrak {g}}}$ heißt Levi-Komplement, wenn die direkte Vektorraumsumme mit dem Radikal ganz ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ergibt. Daher lässt sich der Satz von Levi auch kurz wie folgt formulieren:

Jede endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie-Algebra hat ein Levi-Komplement.

• Levi-Zerlegung (Lie-Gruppe)

1. E. E. Levi: "Sulla struttura dei gruppi finiti e continui", Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino, Band XL: Seiten 551–565
2. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Satz II.4.7
3. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Korollar II.4.8