Satz von Lehmann-Scheffé

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ und sei ${\displaystyle D_{g}}$ die Menge aller erwartungstreuer Schätzer mit endlicher Varianz für die Parameterfunktion ${\displaystyle g}$. Die Unter-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {A}}}$ sei sowohl suffizient für ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ als auch vollständig für ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$.

Ist ${\displaystyle T\in D_{g}}$, dann ist die Rao-Blackwell-Verbesserung ${\displaystyle T^{+}:=\operatorname {E} _{\bullet }(T|{\mathcal {S}})}$ von ${\displaystyle T}$ bezüglich ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für ${\displaystyle g}$. Sprich es gilt

${\displaystyle \operatorname {Var} _{P}(T^{+})\leq \operatorname {Var} _{P}(K)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} P\in {\mathcal {P}}}$

und alle weiteren ${\displaystyle K\in D_{g}}$.

Die Formulierung mittels Statistiken folgt direkt aus der obigen: Die suffiziente, vollständige σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ wird durch eine suffiziente, vollständige Statistik ${\displaystyle S}$ ersetzt. Teils wird ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ auch als ${\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$ notiert. Dies bedeutet nicht, dass die Aussage nur für parametrische Modelle gilt. Voll ausformuliert lautet die Aussage dann: ${\displaystyle T^{+}:=\operatorname {E} _{\bullet }(T|S)}$ ist ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für ${\displaystyle g}$, sprich es ist

${\displaystyle \operatorname {Var} _{\vartheta }(T^{+})\leq \operatorname {Var} _{\vartheta }(K)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} \vartheta \in \Theta }$

und alle weiteren ${\displaystyle K\in D_{g}}$.