Satz von Kolmogorow-Tschenzow

Gegeben sei ein reellwertiger stochastischer Prozess ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in I}}$, der als Indexmenge die nichtnegativen reellen Zahlen besitzt. Es ist also ${\displaystyle I=[0,\infty )}$. Des Weiteren gebe es für jedes ${\displaystyle T\in I}$ reelle Zahlen ${\displaystyle a,b,C>0}$, so dass

${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{t}-X_{s}|^{a})\leq C|t-s|^{1+b}}$

für alle ${\displaystyle s,t}$ aus dem Intervall ${\displaystyle [0,T]}$ gilt.

Dann existiert eine Modifikation ${\displaystyle X^{*}}$ von ${\displaystyle X}$, die lokal hölderstetige Pfade der Ordnung ${\displaystyle h}$ hat für alle ${\displaystyle h\in (0,{\tfrac {b}{a}})}$.

Außerdem existiert dann zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ eine endliche Zahl ${\displaystyle K=K(\varepsilon ,T,a,b,C,h)}$, so dass

${\displaystyle P\left(|X_{t}^{*}-X_{s}^{*}|\leq K|t-s|^{h}{\text{ für }}s,t\in [0,T]\right)\geq 1-\varepsilon }$.

Der Wienerprozess ist ein reellwertiger Prozess ${\displaystyle W=(W_{t})_{t\in I}}$ mit Indexmenge ${\displaystyle I=[0,\infty )}$, der durch die folgenden Eigenschaften charakterisiert wird:

1. ${\displaystyle W_{0}=0}$.
2. ${\displaystyle W}$ ist ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen.
3. ${\displaystyle W}$ ist ein Prozess mit stationären Zuwächsen.
4. Die Zuwächse sind normalverteilt, es gilt also ${\displaystyle W_{t}\sim {\mathcal {N}}_{0,t}}$.
5. Die Pfade des Prozesses sind fast sicher stetig.

Mit dem Satz von Kolmogorow-Tschenzow kann man nun zeigen, dass die fünfte Bedingung redundant ist, d. h. wenn die ersten vier Bedingungen für einen Prozess gelten, so existiert immer eine Modifikation des Prozesses, welche die fünfte Bedingung erfüllt.

Denn aufgrund der stationären unabhängigen Zuwächse und den Skalierungseigenschaften der Normalverteilung gilt

${\displaystyle W_{t}-W_{s}\sim {\sqrt {t-s}}\;W_{1}\sim {\mathcal {N}}_{0,t-s}}$.

Mit den Rechenregeln des Erwartungswertes folgt damit

${\displaystyle \operatorname {E} \left((W_{t}-W_{s})^{2n}\right)=\operatorname {E} \left(({\sqrt {t-s}}\;W_{1})^{2n}\right)=\operatorname {E} (W_{1}^{2n})|t-s|^{n}}$

und beispielsweise durch die momenterzeugende Funktion erhält man ${\displaystyle \operatorname {E} (W_{1}^{2n})={\tfrac {(2n)!}{2^{n}n!}}}$. Nach dem Satz von Kolmogorow-Tschenzow mit ${\displaystyle a=2n,b=n-1}$ und ${\displaystyle C=C(n)={\tfrac {(2n)!}{2^{n}n!}}}$ existiert nun für jedes ${\displaystyle h\in (0,{\tfrac {n-1}{2n}})}$ und jedes ${\displaystyle n\geq 2}$ eine lokal hölder-${\displaystyle h}$-stetige Modifikation des Prozesses ${\displaystyle W}$.

Die Aussage des Satzes gilt ohne weitere Einschränkungen auch für Prozesse, die Werte in polnischen Räumen annehmen. Bei Veränderungen der Zeitmenge muss man jedoch stärkere Forderungen stellen.

1. Nikolai Nikolaevich Chentsov (Obituary) Beschränkter Online-Zugriff auf den Nachruf von Tschenzow in 1993 Russ. Math. Surv. 48 161 mit Überblick über sein Lebenswerk. Abgerufen am 14. November 2015.

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 470–473, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.