Satz von Kato-Rellich

Im Folgenden bezeichne ${\displaystyle H}$ einen komplexen Hilbertraum mit Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ und zugehöriger Norm ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert$ :={\sqrt {\langle \cdot ,\cdot \rangle }}} .

• Ein dicht definierter, linearer Operator ist eine lineare Abbildung ${\displaystyle A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)\subset H}$ einen dichten Untervektorraum von ${\displaystyle H}$ bezeichne. Derartige Operatoren können beschränkt oder unbeschränkt sein, darüber wird hier keine Annahme getroffen.
• Man bezeichnet einen dicht definierten, linearen Operator ${\displaystyle A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H}$ als symmetrisch, falls ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$ für alle ${\displaystyle x,\,y\in {\mathcal {D}}(A)}$ gilt.
• Zu einem dicht definierten, linearen Operator ${\displaystyle A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H}$ lässt sich der adjungierte Operator wie folgt definieren: Man definiert den Raum ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A^{\ast })\subset H}$ als die Menge aller ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A)}$, für die gilt, dass das lineare Funktional ${\displaystyle L_{x}:{\mathcal {D}}(A)\to H}$, welches durch ${\displaystyle L_{x}(y):=\langle x,Ay\rangle }$ für ${\displaystyle y\in {\mathcal {D}}(A)}$ definiert ist, stetig ist. Da der Definitionsbereich ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ dicht definiert ist, besitzt dieses Funktional eine eindeutig bestimmte Fortsetzung auf ${\displaystyle H}$. Daher existiert nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz ein eindeutig bestimmtes Element ${\displaystyle z\in H}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle L_{x}(y)=\langle z,y\rangle }$. Man setzt nun ${\displaystyle A^{\ast }x:=z}$ und erhält dadurch einen Operator ${\displaystyle A^{\ast }:{\mathcal {D}}(A^{\ast })\to H}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle \langle A^{\ast }x,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$ für alle ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A^{\ast })}$ und alle ${\displaystyle y\in {\mathcal {D}}(A)}$.
• Man nennt einen dicht definierten, linearen ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(A)\to H}$ selbstadjungiert, falls ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A^{\ast })={\mathcal {D}}(A)}$ und ${\displaystyle A}$ symmetrisch ist.

Um den Satz zu formulieren, wird der Begriff eines relativ beschränkten Operators benötigt:

Seien ${\displaystyle A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H}$ und ${\displaystyle B\colon {\mathcal {D}}(B)\to H}$ zwei dicht definierte, lineare Operatoren. Man bezeichnet ${\displaystyle B}$ als relativ beschränkt bezüglich ${\displaystyle A}$ oder kurz ${\displaystyle A}$-beschränkt, falls ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)\subset {\mathcal {D}}(B)}$ gilt und zwei positive reelle Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ existieren, so dass die folgende Ungleichung für alle ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A)}$ erfüllt ist:

${\displaystyle \Vert Bx\Vert \leq a\Vert Ax\Vert +b\Vert x\Vert }$

Das Infimum aller Zahlen ${\displaystyle a}$, für die ein ${\displaystyle b}$ existiert, sodass die obige Ungleichung für alle ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A)}$ erfüllt ist, wird als relative Schranke von ${\displaystyle B}$ bezüglich ${\displaystyle A}$ bezeichnet.

Satz (von Kato-Rellich):

Es sei ${\displaystyle A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H}$ ein selbstadjungierter Operator und ${\displaystyle B\colon {\mathcal {D}}(B)\to H}$ ein symmetrischer Operator. Ist der Operator ${\displaystyle B}$ relativ beschränkt bezüglich ${\displaystyle A}$ mit einer relativen Schranke ${\displaystyle <1}$, dann ist der Operator ${\displaystyle A+B\colon {\mathcal {D}}(A)\to H}$ selbstadjungiert.

Der Operator ${\displaystyle A+B\colon {\mathcal {D}}(A)\to H}$ ist offensichtlich wohldefiniert, da ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)\subset {\mathcal {D}}(B)}$. Des Weiteren ist er nach Voraussetzung symmetrisch. Ein symmetrischer Operator ${\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}(T)\to H}$ ist genau dann selbstadjungiert, wenn ein ${\displaystyle \mu >0}$ existiert, sodass ${\displaystyle \mathrm {Bild} (T\pm i\mu )=H}$, wobei ${\displaystyle \mathrm {Bild} (T)}$ das Bild von ${\displaystyle T}$ bezeichnet.[1] Daher reicht es zu zeigen, dass ein ${\displaystyle \mu >0}$ existiert, sodass ${\displaystyle \mathrm {Bild} (A+B\pm i\mu )=H}$ gilt.

Sei ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$. Die Beweisidee des Satzes von Kato-Rellich ist nun, den Operator ${\displaystyle A+B+i\mu }$ als ${\displaystyle A+B+i\mu =(1+B(A+i\mu )^{-1})(A+i\mu )}$ zu schreiben. Das ist möglich, da nach Voraussetzung ${\displaystyle A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H}$ selbstadjungiert ist und daher ${\displaystyle (A+i\mu )^{-1}}$ existiert. Da weiters ${\displaystyle \mathrm {Bild} (A+i\mu )=H}$, genügt es zu zeigen, dass ${\displaystyle (1+B(A+i\mu )^{-1})}$ einen beschränkten inversen Operator hat.

Nach Voraussetzung gilt für alle ${\displaystyle x\in H}$ die Ungleichung

${\displaystyle \Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq a\Vert A(A+i\mu )^{-1}x\Vert +b\Vert (A+i\mu )^{-1}x\Vert }$.

Des Weiteren gilt für alle ${\displaystyle y\in {\mathcal {D}}(A)}$ die Gleichheit ${\displaystyle \Vert (A+i\mu )y\Vert ^{2}=\Vert Ay\Vert ^{2}+\mu ^{2}\Vert y\Vert ^{2}}$ und daher mit ${\displaystyle y=(A+i\mu )^{-1}x}$

${\displaystyle \Vert A(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq \Vert x\Vert }$

und

${\displaystyle \Vert (A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq {\frac {1}{\vert \mu \vert }}\Vert x\Vert }$.

Kombiniert man die soeben genannten Ungleichungen, findet man, dass für alle ${\displaystyle x\in H}$ die Abschätzung

${\displaystyle \Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq {\bigg (}a+{\frac {b}{\vert \mu \vert }}{\bigg )}\Vert x\Vert }$.

gilt. Da ${\displaystyle a<1}$, ist es möglich, ${\displaystyle \mu }$ groß genug zu wählen, sodass ${\displaystyle {\bigg (}a+{\frac {b}{\vert \mu \vert }}{\bigg )}<1}$ gilt, womit die Ungleichung

${\displaystyle \Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert <1}$

für alle ${\displaystyle x\in H}$ gezeigt ist. Es folgt, dass ${\displaystyle (1+B(A+i\mu )^{-1})}$ invertierbar ist mit einem beschränkten inversen Operator (siehe Neumann-Reihe). Damit ist ${\displaystyle \mathrm {Bild} (A+B+i\mu )=H}$ gezeigt.

Anwendung findet der Satz von Kato-Rellich zum Beispiel in der Quantenmechanik:

Sei ${\displaystyle V=V_{1}+V_{2}}$ mit ${\displaystyle V_{1}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ und ${\displaystyle V_{2}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})}$. Dann lässt sich mithilfe des Satzes von Kato-Rellich zeigen, dass der Hamiltonoperator ${\displaystyle H:=-\Delta +V}$ mit dem Laplace-Operator ${\displaystyle \Delta }$ selbstadjungiert ist, wenn man als Definitionsbereich den Sobolev-Raum ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ wählt.

• Leon Armenovich Takhtadzhi͡an: Quantum Mechanics for Mathematicians (= Graduate Studies in Mathematics. Volume 95). American Mathematical Soc., Providence, Rhode Island 2008.
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. (= Graduate Studies in Mathematics. Volume 99). American Mathematical Soc., Providence, Rhode Island 2009.

1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, S. 349 (Satz VII.2.8.).