Satz von Kadets-Snobar

Es sei ${\displaystyle X}$ ein reeller, normierter Raum und ${\displaystyle Y\subset X}$ ein endlichdimensionaler Unterraum. Dann gibt es einen stetigen, linearen Operator ${\displaystyle P:X\rightarrow X}$ mit

• ${\displaystyle P\circ P=P}$,   (${\displaystyle P}$ ist ein Projektionsoperator),
• ${\displaystyle \mathrm {Bild} (P)=Y}$,   (der Bildraum des Projektionsoperators ist ${\displaystyle Y}$),
• ${\displaystyle \|P\|\leq {\sqrt {\mathrm {dim} (Y)}}}$,   (die Operatornorm ist beschränkt durch die Wurzel aus der Dimension).[2][3]

Aus dem Lemma von Auerbach kann man leicht einen analogen Satz mit der Abschätzung ${\displaystyle \|P\|\leq \mathrm {dim} (Y)}$ herleiten. Obiger Satz von Kadets-Snobar stellt daher eine verbesserte Abschätzung möglicher Projektornormen dar und es stellt sich die Frage, ob weitere Verbesserungen möglich sind. Es soll im Folgenden kurz erläutert werden, dass der Satz von Kadets-Snobar in einem asymptotischen Sinne bereits optimal ist.

Man definiert für einen endlichdimensionalen Unterraum ${\displaystyle Y}$ eines Banachraums ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \lambda (Y,X):=\inf\{\|P\|\,\mid P:X\rightarrow X{\text{ stetiger linearer Projektor mit Bild }}Y\}}$

und nennt diese Größe die Projektionskonstante von ${\displaystyle Y}$ relativ zu ${\displaystyle X}$. Ohne Einschränkung kann man einen endlichdimensionalen normierten Raum ${\displaystyle Y}$ als Unterraum von ${\displaystyle \ell _{\infty }}$, dem Folgenraum der beschränkten Folgen, auffassen. Dann kann man zeigen, dass

${\displaystyle \lambda (Y):=\sup\{\lambda (Y,X)\mid X{\text{ Oberraum von }}Y\}=\lambda (Y,\ell _{\infty })}$.

Diese Größe nennt man die absolute Projektionskonstante von ${\displaystyle Y}$.[4] Diese Begriffe gehen im Wesentlichen auf B. Grünbaum zurück.[5] Der Satz von Kadets-Snobar besagt gerade, dass

${\displaystyle \lambda (Y)\leq {\sqrt {n}}}$,   für jeden ${\displaystyle n}$-dimensionalen normierten Raum ${\displaystyle Y}$.[6]

Fasst man den Satz von Kadets-Snobar als asymptotische Abschätzung auf, so erhält man

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\lambda (Y_{n})}{\sqrt {n}}}\leq 1}$ für jede Folge ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n}$-dimensionaler Räume.

Die Ordnung ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ dieser asymptotischen Abschätzung kann man nicht weiter verbessern, denn H. König hat 1985 eine Folge endlichdimensionaler Räume konstruiert, für die in obiger Formel das Gleichheitszeichen steht. König und D. R. Lewis konnten aber 1987 zeigen, dass stets

${\displaystyle \lambda (Y)<{\sqrt {\mathrm {dim} (Y)}}}$

gilt.[7] Setzt man

${\displaystyle \lambda _{n}:=\sup\{\lambda (Y)\mid Y{\text{ normierter Raum mit }}\mathrm {dim} (Y)=n\}}$,

so liefert der Satz von Kadets-Snobar die Ungleichung ${\displaystyle \lambda _{n}\leq {\sqrt {n}}}$. Die exakte Bestimmung der ${\displaystyle \lambda _{n}}$ hat sich als schwierig erwiesen. Im Jahre 2010 haben B. Chalmers und G. Lewicki die schon in [5] formulierte und später sogenannte Grünbaum-Vermutung ${\displaystyle \lambda _{2}={\tfrac {4}{3}}}$ beweisen können.[8] Für die Dimension 2 haben wir mit ${\displaystyle \lambda _{2}={\tfrac {4}{3}}=1,3333\ldots }$ eine deutlich bessere Abschätzung als aus dem Satz von Kadets-Snobar, der nur ${\displaystyle \lambda _{2}\leq {\sqrt {2}}=1,4142\ldots }$ liefert.

1. M. I. Kadets, M. G. Snobar: Certain functionals on the Minkowski compactum, Mathematical Notes 10 (1971), Seiten 694–696
2. Hermann König: Eigenvalue Distribution of Compact Operators, Springer-Verlag 1986, ISBN 978-3-0348-6280-6, Theorem 4. b. 6
3. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8, Satz 12.14
4. Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators, Birkhäuser Boston (2007), ISBN 978-0-8176-4367-6, Abschnitt 6.1.1.6
5. B. Grünbaum: Projection constants, Trans. Amer. Math. Soc. 95 (1960), Seiten 451–465
6. Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators, Birkhäuser Boston (2007), ISBN 978-0-8176-4367-6, Abschnitt 6.1.1.7
7. H. König, D. R. Lewis: A strict inequality for projection constants Journal of Functional Analysis 74(2), 1987, Seiten 328–332
8. B. Chalmers, G. Lewicki: A proof of the Grünbaum conjecture, Studia Mathematica (2010), Band 200(2), Seiten 103–129