Satz des Heron

Diese Formel lässt sich auch so ausdrücken:

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {(a+b+c)\cdot (-a+b+c)\cdot (a-b+c)\cdot (a+b-c)}}}$   (V1)

Ausmultipliziert erhält man:

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2\cdot a^{2}\cdot b^{2}+2\cdot b^{2}\cdot c^{2}+2\cdot c^{2}\cdot a^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}}$    (V2)

Als weitere Darstellung der heronischen Formel ist auch die folgende gängig:

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}\cdot b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}}$        (V3)[2],

welche man aus der Version (V1) durch Umgruppieren und Anwendung der binomischen Formeln mit den folgenden Gleichungen gewinnt:

${\displaystyle {\begin{aligned}16\cdot A^{2}&={\bigl (}((a+b)+c)\cdot ((a+b)-c){\bigr )}\cdot {\bigl (}(c+(a-b))\cdot (c-(a-b)){\bigr )}\\&={\bigl (}(a+b)^{2}-c^{2}{\bigr )}\cdot {\bigl (}c^{2}-(a-b)^{2}{\bigr )}\\&={\bigl (}a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cdot {\bigl (}c^{2}-a^{2}+2\cdot a\cdot b-b^{2}{\bigr )}\\&={\bigl (}2\cdot a\cdot b+(a^{2}+b^{2}-c^{2}){\bigr )}\cdot {\bigl (}2\cdot a\cdot b-(a^{2}+b^{2}-c^{2}){\bigr )}\\&=4\cdot a^{2}\cdot b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\end{aligned}}}$

Aus der Version (V3) lässt sich schließlich eine Darstellung mit einer Determinante ableiten:[3][4]

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-\det \left({\begin{matrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{matrix}}\right)}}}$ [5]       (V4)

Dies ist ein Spezialfall der Cayley-Menger-Determinante, mit der man das Volumen eines Simplexes, der Verallgemeinerung von Dreiecken auf beliebige Dimensionen, zum Beispiel ein Tetraeder in drei Dimensionen, berechnen kann.

(V4) erhält man aus (V3) unter Anwendung des Entwicklungssatzes von Laplace und elementarer Matrizenumformungen wie folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}4\cdot a^{2}\cdot b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}&=4\cdot a^{2}\cdot b^{2}-(c^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\\&=\det \left({\begin{matrix}-2\cdot a^{2}&c^{2}-a^{2}-b^{2}\\c^{2}-a^{2}-b^{2}&-2\cdot b^{2}\end{matrix}}\right)\\&=\det \left({\begin{matrix}1&a^{2}&b^{2}\\0&-2\cdot a^{2}&c^{2}-a^{2}-b^{2}\\0&c^{2}-a^{2}-b^{2}&-2\cdot b^{2}\end{matrix}}\right)\\&=\det \left({\begin{matrix}1&a^{2}&b^{2}\\1&-a^{2}&c^{2}-a^{2}\\1&c^{2}-b^{2}&-b^{2}\end{matrix}}\right)\\&=-\det \left({\begin{matrix}0&1&0&0\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&-a^{2}&c^{2}-a^{2}\\1&b^{2}&c^{2}-b^{2}&-b^{2}\end{matrix}}\right)\\&=-\det \left({\begin{matrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{matrix}}\right)\end{aligned}}}$

Ein Dreieck mit den Seitenlängen ${\displaystyle a=4}$, ${\displaystyle \ b=13}$ und ${\displaystyle c=15}$ hat den halben Umfang

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {4+13+15}{2}}=16}$.

Eingesetzt in die Formel erhält man den Flächeninhalt

${\displaystyle A={\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}}$${\displaystyle {}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}}$${\displaystyle {}={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}}$${\displaystyle {}={\sqrt {576}}=24}$.

Eine andere Darstellung der Formel ergibt

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {(a+b+c)\cdot (-a+b+c)\cdot (a-b+c)\cdot (a+b-c)}}}$${\displaystyle {}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {(4+13+15)\cdot (-4+13+15)\cdot (4-13+15)\cdot (4+13-15)}}}$${\displaystyle {}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {32\cdot 24\cdot 6\cdot 2}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {9216}}={\frac {1}{4}}\cdot 96=24}$.

In diesem Beispiel sind die Seitenlängen und der Flächeninhalt ganze Zahlen. Deshalb ist ein Dreieck mit den Seitenlängen 4, 13 und 15 ein heronisches Dreieck.

Die Formel kann als Grenzfall aus der Formel für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gewonnen werden, wenn zwei der Eckpunkte ineinander übergehen, so dass eine der Seiten des Sehnenvierecks die Länge Null annimmt. Für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gilt nämlich nach der Formel von Brahmagupta

${\displaystyle A={\sqrt {(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)}}}$,

wobei hier der halbe Umfang

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}$

ist.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt ${\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}}$ und ${\displaystyle a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}}$ (siehe Abbildung). Subtraktion ergibt ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2\cdot c\cdot d}$, also

${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2\cdot c}}}$

Für die Höhe ${\displaystyle h}$ des Dreiecks gilt ${\displaystyle h^{2}=b^{2}-d^{2}}$. Einsetzen der letzten Gleichung liefert

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2\cdot c}}\right)^{2}\\&=\left({\frac {2\cdot b\cdot c}{2\cdot c}}\right)^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2\cdot c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2\cdot b\cdot c+(-a^{2}+b^{2}+c^{2}))\cdot (2\cdot b\cdot c-(-a^{2}+b^{2}+c^{2}))}{4\cdot c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})\cdot (a^{2}-(b-c)^{2})}{4\cdot c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)+a)\cdot ((b+c)-a)\cdot (a+(b-c))\cdot (a-(b-c))}{4\cdot c^{2}}}\\&={\frac {2\cdot s\cdot 2\cdot (s-a)\cdot 2\cdot (s-c)\cdot 2\cdot (s-b)}{4\cdot c^{2}}}\\&={\frac {4\cdot s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}}$

Anwenden der Quadratwurzel auf beiden Seiten ergibt

${\displaystyle h={\frac {2}{c}}\cdot {\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}}$

Daraus folgt für den Flächeninhalt des Dreiecks

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {c\cdot h}{2}}\\&={\frac {c}{2}}\cdot {\frac {2}{c}}\cdot {\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}\\&={\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}\end{aligned}}}$

Nach dem Kosinussatz gilt

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot a\cdot b}}}$

Eingesetzt in den trigonometrischen Pythagoras folgt daraus

${\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\sqrt {\left({\frac {2\cdot a\cdot b}{2\cdot a\cdot b}}\right)^{2}-\left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot a\cdot b}}\right)^{2}}}={\frac {1}{2\cdot a\cdot b}}\cdot {\sqrt {(2\cdot a\cdot b)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}}$

Die Höhe des Dreiecks auf der Seite ${\displaystyle a}$ hat die Länge ${\displaystyle b\cdot \sin \gamma }$. Einsetzen der letzten Gleichung liefert

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {a\cdot b\cdot \sin \gamma }{2}}\\&={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {(2\cdot a\cdot b)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {(2\cdot a\cdot b+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))\cdot (2\cdot a\cdot b-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {((a+b)^{2}-c^{2})\cdot (c^{2}-(a-b)^{2})}}\\&={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {((a+b)+c)\cdot ((a+b)-c)\cdot (c+(a-b))\cdot (c-(a-b))}}\\&={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {(a+b+c)\cdot (-a+b+c)\cdot (a-b+c)\cdot (a+b-c)}}\\&={\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}\end{aligned}}}$

Der Inkreisradius des Dreiecks sei ${\displaystyle r}$. Mit Hilfe des Kotangenssatz erhält man für den Flächeninhalt

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=r\cdot ((s-a)+(s-b)+(s-c))\\&=r^{2}\cdot \left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\&=r^{2}\cdot \left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}}$

Mit der Gleichung ${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta }{2}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}}$ für Dreiecke (siehe Formelsammlung Trigonometrie) folgt daraus

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=r^{2}\cdot \left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta }{2}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\&=r^{2}\cdot \left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\&={\frac {(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}{r}}\end{aligned}}}$

Außerdem gilt ${\displaystyle A={\frac {r\cdot (a+b+c)}{2}}=r\cdot s}$ (siehe Abbildung). Aus der Multiplikation dieser Gleichungen ergibt sich

${\displaystyle A^{2}=s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}$

und daraus der Satz des Heron.