Satz von Girsanow

Sei ${\displaystyle Z}$ ein stetiger Prozess, so dass für die zwei Wahrscheinlichkeitsmaße

${\displaystyle Q=Z_{t}P}$

auf ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t},\;t\geq 0}$ gilt. Dann gilt für jedes stetige lokale ${\displaystyle P}$-Martingal ${\displaystyle M}$, dass

${\displaystyle {\widetilde {M}}=M-Z^{-1}[M,Z]}$

ein lokales ${\displaystyle Q}$-Martingal ist.[2]

Sei ${\displaystyle \{\Omega ,{\mathcal {F}},P,\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{0\leq t\leq T}\}}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, versehen mit der natürlichen Filtrierung des standardisierten Wiener-Prozesses ${\displaystyle ({B}_{t})_{0\leq t\leq T}}$. Sei ${\displaystyle (\theta _{t})_{0\leq t\leq T}}$ ein adaptierter Prozess, so dass gilt ${\displaystyle \int _{0}^{T}\theta _{s}^{2}\,\mathrm {d} s<\infty }$ P-fast-sicher und der Prozess ${\displaystyle (L_{t})_{0\leq t\leq T}}$ definiert durch

${\displaystyle L_{t}=\exp \left(\int _{0}^{t}\theta _{s}\,\mathrm {d} B_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\theta _{s}^{2}\,\mathrm {d} s\right)}$

sei ein Martingal.

Dann gilt unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P^{(L)}}$ mit der Dichte ${\displaystyle L_{T}}$ bezüglich ${\displaystyle P}$, dass der Prozess ${\displaystyle (W_{t})_{0\leq t\leq T}}$ definiert durch ${\displaystyle W_{t}=B_{t}-\int _{0}^{t}\theta _{s}\,\mathrm {d} s}$ ein standardisierter Wiener-Prozess ist.[3]