Satz von Gelfand-Neumark

X ist die Menge aller von der Nullabbildung verschiedenen *-Homomorphismen ${\displaystyle \chi \colon A\rightarrow \mathbb {C} }$. Zu jedem ${\displaystyle a\in A}$ ist durch ${\displaystyle {\tilde {a}}(\chi )=\chi (a)}$ eine Abbildung ${\displaystyle {\tilde {a}}:X\rightarrow \mathbb {C} }$ definiert. Schließlich kann man beweisen, dass die Topologie der punktweisen Konvergenz X zu einem lokalkompakten Hausdorff-Raum macht und dass ${\displaystyle a\rightarrow {\tilde {a}}}$ ein isometrischer *-Isomorphismus zwischen A und ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ist.

Nach diesem Satz kann ein Element einer kommutativen C*-Algebra wie eine stetige Funktion behandelt werden, was sich zum sogenannten stetigen Funktionalkalkül ausbauen lässt. So ist z. B. das Spektrum eines Elementes nichts weiter als der Abschluss des Bildes der zugehörigen stetigen Funktion.

Dieser Satz eröffnet ein sehr fruchtbares Zusammenspiel zwischen algebraischen Eigenschaften von C*-Algebren und topologischen Eigenschaften lokalkompakter Räume. Ist ${\displaystyle A\cong C_{0}(X)}$, so hat man neben vielen anderen folgende Entsprechungen:

• A hat ein Einselement. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ X ist kompakt.
• A ist endlich erzeugt. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ X ist homöomorph zu einer Teilmenge eines endlichdimensionalen Vektorraums.
• A ist separabel. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ X genügt dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.[1]
• A hat eine abzählbare Approximation der Eins ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ X ist σ-kompakt.[2]
• Der Adjunktion eines Einselementes entspricht die Einpunktkompaktifizierung von X.
• Dem Übergang zur Multiplikatorenalgebra entspricht die Stone-Čech-Kompaktifizierung.

Topologische Begriffsbildungen werden in algebraische Eigenschaften kommutativer C*-Algebren übersetzt und dann auf nicht-kommutative C*-Algebren verallgemeinert; das ist häufig der Ausgangspunkt weiterer Theorien. Aus diesem Grunde bezeichnet man die Theorie der C*-Algebren auch als nicht-kommutative Topologie.

Sei ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {C} }$ ein stetiges lineares Funktional mit ${\displaystyle \|f\|=1}$ und ${\displaystyle f(x^{*}x)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle x\in A}$. Solche Funktionale nennt man auch Zustände von A. Zum Zustand ${\displaystyle f}$ setze ${\displaystyle N_{f}:=\{x\in A:f(x^{*}x)=0\}}$. Dann definiert die Formel ${\displaystyle \langle x+N_{f},y+N_{f}\rangle =f(y^{*}x)}$ ein Skalarprodukt auf dem Quotientenraum ${\displaystyle A/N_{f}}$. Die Vervollständigung bzgl. dieses Skalarproduktes ist ein Hilbertraum ${\displaystyle H_{f}}$. Für jedes ${\displaystyle a\in A}$ lässt sich die Abbildung ${\displaystyle x+N_{f}\mapsto ax+N_{f}}$ zu einem stetigen linearen Operator ${\displaystyle \pi _{f}(a)}$ auf ${\displaystyle H_{f}}$ fortsetzen. Dann zeigt man, dass die so erklärte Abbildung ${\displaystyle \pi _{f}:A\rightarrow L(H_{f})}$ ein *-Homomorphismus ist. Schließlich konstruiert man aus der Gesamtheit der so gewonnenen Hilberträume ${\displaystyle H_{f}}$ einen Hilbertraum der gewünschten Art.

Ein Element einer abstrakt definierten C*-Algebra kann also wie ein beschränkter linearer Operator auf einem Hilbertraum behandelt werden.

Die oben beschriebene Konstruktion von ${\displaystyle \pi _{f}}$ aus f heißt die GNS-Konstruktion, wobei GNS für Gelfand, Neumark und Segal steht.

Man nennt *-Homomorphismen der Art ${\displaystyle \pi :A\rightarrow L(H)}$ auch Darstellungen von A auf H. Nach obigem Satz hat jede C*-Algebra eine treue (d. h. injektive) Darstellung auf einem Hilbertraum. Eine Darstellung heißt topologisch irreduzibel, wenn es keinen echten von 0 verschiedenen abgeschlossenen Unterraum U von H gibt, für den ${\displaystyle \pi (a)U\subset U}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ gilt.

Ist A eine C*-Algebra, so ist der Zustandsraum S(A) konvex und ${\displaystyle f\in S(A)}$ ist genau dann ein Extremalpunkt, wenn die Darstellung ${\displaystyle \pi _{f}:A\rightarrow L(H_{f})}$ topologisch irreduzibel ist.

Jede irreduzible Darstellung von A ist von der Form ${\displaystyle \pi _{f}}$ für einen extremalen Zustand f von A.

Auf dieser Grundlage wurde eine sehr weit reichende Darstellungstheorie für C*-Algebren entwickelt. C*-Algebren lassen sich durch die Bilder ihrer irreduziblen Darstellungen weiter klassifizieren. So heißt eine C*-Algebra liminal, wenn das Bild einer jeden irreduziblen Darstellung mit der Algebra der kompakten Operatoren zusammenfällt. Eine C*-Algebra heißt postliminal, wenn das Bild einer jeden irreduziblen Darstellung die Algebra der kompakten Operatoren enthält.