Satz von Forster-Swan

Der Satz von Forster-Swan ist ein Resultat aus der kommutativen Algebra, welches eine obere Schranke für die minimale Anzahl der Erzeuger eines endlich erzeugten Moduls $M$ über einem kommutativen noetherschen Ring angibt. Das Besondere an der Aussage liegt darin, dass man, um die Schranke zu bilden, nur die minimale Anzahl der Erzeuger aller Lokalisierungen $M_{\mathfrak {p}}$ benötigt, was in der Regel viel einfacher zu berechnen ist.

Der Satz wurde 1964[1] in einer restriktiveren Form von Otto Forster bewiesen und schließlich 1967[2] von Richard G. Swan verallgemeinert.

Satz von Forster-Swan

Sei

$R$ ein kommutativer noetherscher Ring mit Einselement,
$M$ ein endlich-erzeugter $R$ -Modul,
${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $\mathbb {R}$ .
$\mu (M),\mu _{\mathfrak {p}}(M)$ sind die minimale Anzahl an Erzeugern um den $R$ -Modul $M$ resp. den $R_{\mathfrak {p}}$ -Modul $M_{\mathfrak {p}}$ zu erzeugen.

Um $\mu _{\mathfrak {p}}(M)$ zu berechnen, genügt es nach dem Lemma von Nakayama, die Dimension des Raumes $M_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}M$ über dem Körper $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ zu berechnen, das heißt

\mu _{\mathfrak {p}}(M)=\operatorname {dim} _{k({\mathfrak {p}})}(M_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}M).

Aussage

Definiere die lokale ${\mathfrak {p}}$ -Schranke

b_{\mathfrak {p}}(M):=\mu _{\mathfrak {p}}(M)+\operatorname {dim} (R/{\mathfrak {p}}),

dann gilt[3]

\mu (M)\leq \sup _{\mathfrak {p}}\;\{b_{\mathfrak {p}}(M)\;|\;{\mathfrak {p}}\;{\text{ist prim}},\;M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.

Literatur

R. A. Rao und F. Ischebeck: Ideals and Reality: Projective Modules and Number of Generators of Ideals. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2005.
R.G. Swan: The number of generators of a module. In: Math. Mathematische Zeitschrift. Band 102, 1967, S. 318–322 (eudml.org).

Einzelnachweise

Otto Forster: Über die Anzahl der Erzeugenden eines Ideals in einem Noetherschen Ring. In: Mathematische Zeitschrift. Band 84, 1964, S. 80–87, doi:10.1007/BF01112211.
R.G. Swan: The number of generators of a module. In: Math. Mathematische Zeitschrift. Band 102, 1967, S. 318–322 (eudml.org).
R. A. Rao und F. Ischebeck: Ideals and Reality: Projective Modules and Number of Generators of Ideals. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2005, S. 221.

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[1] Otto Forster: Über die Anzahl der Erzeugenden eines Ideals in einem Noetherschen Ring. In: Mathematische Zeitschrift. Band 84, 1964, S. 80–87, doi:10.1007/BF01112211.

[2] R.G. Swan: The number of generators of a module. In: Math. Mathematische Zeitschrift. Band 102, 1967, S. 318–322 (eudml.org).

[3] R. A. Rao und F. Ischebeck: Ideals and Reality: Projective Modules and Number of Generators of Ideals. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2005, S. 221.