Satz von Fejér

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2\pi }:=\left\{f\in C(\mathbb {R} );\,f(x)=f(x+2\pi )\;\forall \,x\in \mathbb {R} \right\}}$ der Raum der stetigen ${\displaystyle 2\pi }$-periodischen Funktionen. Die ${\displaystyle n}$-te Partialsumme ${\displaystyle s_{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ der Fourierreihe einer Funktion ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{2\pi }}$ ist gegeben durch ${\displaystyle \textstyle s_{n}(x):=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx}}$ mit den Fourierkoeffizienten ${\displaystyle \textstyle c_{k}:={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)e^{-ikx}\mathrm {d} x}$. Der Satz von Fejér lautet nun:

Sei ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{2\pi }}$, dann konvergiert

${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}s_{k}(x)}$

für ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ gleichmäßig in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ gegen ${\displaystyle f(x)}$.

Der Satz von Fejér kann in dieser Form nicht weiter verschärft werden:

• Leopold Fejér konstruierte 1911 ein Beispiel einer Funktion ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{2\pi }}$, deren Fourierreihe in wenigstens einem Punkt nicht konvergiert.
• Wird die Bedingung der Stetigkeit zu stückweiser Stetigkeit abgeschwächt, konvergieren auch die arithmethischen Mittel der Partialsummen in den Unstetigkeitsstellen nicht mehr gegen den Funktionswert.

• Falls eine Fourierreihe einer Funktion aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2\pi }}$ in einem Punkt konvergiert, dann konvergiert sie gegen den Funktionswert.

• Die Fourierreihenentwicklung ist eindeutig: Zwei Funktionen aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2\pi }}$ haben genau dann die gleiche Fourierreihe, wenn sie als Funktionen übereinstimmen.

• Die Partialsummen einer Funktion ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{2\pi }}$ konvergieren in der ${\displaystyle L_{2\pi }^{2}}$-Norm gegen die Funktion, d. h. ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\|f-s_{n}\right\|_{L_{2\pi }^{2}}=0}$, wobei ${\displaystyle \left\|g\right\|_{L_{2\pi }^{2}}:=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|g(x)\right|^{2}\mathrm {d} x\right)^{1/2}}$

• Für ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{2\pi }}$ gilt die sogenannte Bessel-Gleichung: ${\displaystyle \left\|f\right\|_{L_{2\pi }^{2}}^{2}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|c_{k}\right|^{2}}$, wobei ${\displaystyle c_{k}}$ die Fourierkoeffizienten von ${\displaystyle f}$ sind.

• Durch Polarisieren erhält man aus der Bessel-Gleichung den Satz von Parseval: Seien ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}_{2\pi }}$ mit Fourierkoeffizienten ${\displaystyle c_{k}}$ bzw. ${\displaystyle d_{k}}$. Dann gilt: ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}{\overline {d_{k}}}}$, wobei ${\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\cdot {\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x}$ das L²-Skalarprodukt ist.

• Fejér-Polynome

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4

1. Fejér, Sur les fonctions bornées et intégrables, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Band 131, 1900, S. 984–987