Satz von Escher

Als Grundlage für die Formulierung dient Abbildung 1 (siehe nächster Abschnitt) als Planfigur.

• Gegeben seien ein gleichseitiges Dreieck ${\displaystyle ABC}$ und ein Punkt ${\displaystyle P}$ außerhalb von ${\displaystyle ABC}$.
• Q sei Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks ${\displaystyle QPB}$, dessen Winkel an der Spitze die Weite 120° hat.
• R sei Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks ${\displaystyle PRA}$, dessen Winkel an der Spitze ebenfalls die Weite 120° hat.

Unter diesen Voraussetzungen ist auch das Dreieck ${\displaystyle RQC}$ gleichschenklig mit dem Winkel der Weite 120° an der Spitze.

Bei der Beweisführung wird mit Hilfe des Satzes von Napoleon die Konstruktion rückwärts betrachtet.

Die Punkte ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ sind jeweils Mittelpunkte von – in der Planfigur nicht enthaltenen – gleichseitigen Dreiecken über den Seiten ${\displaystyle PR}$ bzw. ${\displaystyle PQ}$ bzw. ${\displaystyle RQ}$ des Dreiecks ${\displaystyle PQR}$. Demnach ist ${\displaystyle ABC}$ das gleichseitige Napoleon-Dreieck des Dreiecks ${\displaystyle PQR}$. Aus dessen Eigenschaften folgt, dass die Dreiecke ${\displaystyle PRA}$, ${\displaystyle QPB}$ und ${\displaystyle RQC}$ gleichschenklig mit dem Winkel der Weite 120° an der Spitze sind.

Im Folgenden wird das Vieleck ${\displaystyle APBQCR}$ mit Escher-Sechseck bezeichnet.

Je nach Lage des Punktes ${\displaystyle P}$ entstehen konvexe, konkave, entartete und überschlagene Escher-Sechsecke.

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  Abb. 1: Konvexes Sechseck
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  Abb. 2: Konkaves Sechseck
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  Abb. 3: Entartetes Sechseck
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  Abb. 4: Überschlagenes Sechseck

• Liegt ${\displaystyle P}$ innerhalb des Dreiecks ${\displaystyle AEB}$, so ist das Escher-Sechseck konvex.
• Liegt ${\displaystyle P}$ im Innern eines der Dreiecke ${\displaystyle DEA}$ oder ${\displaystyle EFB}$, so ist das Escher-Sechseck konkav.
• Liegt ${\displaystyle P}$ auf einer der sechs Seiten der Dreiecke ${\displaystyle ADE}$, ${\displaystyle BEF}$ und ${\displaystyle AEB}$, so ist das Escher-Sechseck entartet.
• Liegt ${\displaystyle P}$ außerhalb der Dreiecke ${\displaystyle ADE}$, ${\displaystyle BEF}$ und ${\displaystyle AEB}$, so ist das Escher-Sechseck ein überschlagenes Sechseck.[1][2]

• Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
• Napoleon-Dreieck
• Napoleon-Punkt

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik – 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, S. 96–97.

1. Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 100–102.
2. J. F. Rigby: Napoleon, Escher, and Tessellations. Mathematics Magazine, 64, (1991), S. 242–246.