Satz von Dini

Sind ${\displaystyle X}$ ein kompakter topologischer Raum,

${\displaystyle (f_{i}\colon X\rightarrow \mathbb {R} )_{i\in \mathbb {N} }}$

eine Folge reellwertiger, stetiger Funktionen mit

${\displaystyle f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)}$

für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle i}$ und alle ${\displaystyle x\in X}$ und existiert eine stetige Grenzfunktion ${\displaystyle f}$, das heißt

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)}$

für alle ${\displaystyle x\in X}$, so konvergiert die Folge bereits gleichmäßig gegen ${\displaystyle f}$, das heißt

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\sup _{x\in X}|f_{i}(x)-f(x)|=0.}$

Für ein vorgegebenes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ setze

${\displaystyle E_{i}:=\{x\in X\mid f(x)-f_{i}(x)<\varepsilon \}}$.

Da die Folge der ${\displaystyle f_{i}}$ punktweise gegen ${\displaystyle f}$ konvergiert, bilden die ${\displaystyle E_{i}}$ eine Überdeckung von ${\displaystyle X}$, die wegen der vorausgesetzten Stetigkeit offen ist. Die Überdeckung ${\displaystyle (E_{i})_{i}}$ ist monoton wachsend, da die Funktionenfolge diese Eigenschaft hat. Weil ${\displaystyle X}$ kompakt ist, wird ${\displaystyle X}$ bereits von endlich vielen der ${\displaystyle E_{i}}$ überdeckt. Ist ${\displaystyle N}$ der größte Index dieser endlich vielen Überdeckungsmengen, so gilt ${\displaystyle E_{i}=X}$ für alle größeren Indizes ${\displaystyle i}$. Also ist

${\displaystyle |f(x)-f_{i}(x)|=f(x)-f_{i}(x)<\varepsilon \,}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$ und ${\displaystyle i>N\,}$,

woraus die Behauptung folgt.

Der Satz von Dini gilt auch für monoton fallende Folgen, wie man entweder durch einen entsprechend angepassten Beweis oder durch Übergang zur Folge ${\displaystyle (-f_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ sieht.

Auf die Voraussetzung, dass die Grenzfunktion wieder stetig ist, kann nicht verzichtet werden, wie man an dem Beispiel ${\displaystyle f_{i}(x)=1-x^{i}}$ auf ${\displaystyle X=[0,1]}$ einfach sehen kann.

• Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rⁿ und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-43586-7.