Satz von Castigliano

Die partielle Ableitung der in einem linear elastischen Körper gespeicherten Formänderungsenergie nach der äußeren Kraft ergibt die Verschiebung ${\displaystyle v_{k}}$ des Kraftangriffspunktes in Richtung dieser Kraft. Analog ergibt die partielle Ableitung der Formänderungsenergie nach einem Moment die Verdrehung ${\displaystyle \varphi _{k}}$ des Balkens am Angriffspunkt dieses Momentes. Um die Durchbiegung an Stellen ohne Krafteinwirkung mit dem Satz von Castigliano bestimmen zu können, müssen an diesen Stellen Hilfskräfte eingeführt werden, die nach dem Ableiten zu Null gesetzt werden.

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial F_{k}}}=v_{k}=\sum _{i=1}^{n}\int _{l_{i}}\left[{\frac {M_{bxi}}{(EI_{xx})_{i}}}{\frac {\partial M_{bxi}}{\partial F_{k}}}+{\frac {M_{byi}}{(EI_{yy})_{i}}}{\frac {\partial M_{byi}}{\partial F_{k}}}+{\frac {M_{ti}}{(GI_{t})_{i}}}{\frac {\partial M_{ti}}{\partial F_{k}}}+{\frac {F_{Li}}{(EA)_{i}}}{\frac {\partial F_{Li}}{\partial F_{k}}}+{\frac {F_{Qxi}}{(GA\kappa _{x})_{i}}}{\frac {\partial F_{Qxi}}{\partial F_{k}}}+{\frac {F_{Qyi}}{(GA\kappa _{y})_{i}}}{\frac {\partial F_{Qyi}}{\partial F_{k}}}\right]ds_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial M_{k}}}=\varphi _{k}=\sum _{i=1}^{n}\int _{l_{i}}\left[{\frac {M_{bxi}}{(EI_{xx})_{i}}}{\frac {\partial M_{bxi}}{\partial M_{k}}}+{\frac {M_{byi}}{(EI_{yy})_{i}}}{\frac {\partial M_{byi}}{\partial M_{k}}}+{\frac {M_{ti}}{(GI_{t})_{i}}}{\frac {\partial M_{ti}}{\partial M_{k}}}+{\frac {F_{Li}}{(EA)_{i}}}{\frac {\partial F_{Li}}{\partial M_{k}}}+{\frac {F_{Qxi}}{(GA\kappa _{x})_{i}}}{\frac {\partial F_{Qxi}}{\partial M_{k}}}+{\frac {F_{Qyi}}{(GA\kappa _{y})_{i}}}{\frac {\partial F_{Qyi}}{\partial M_{k}}}\right]ds_{i}}$

${\displaystyle U=U(q_{1},\dots ,q_{n})}$ = Verzerrungsenergie (Formänderungsenergie)

${\displaystyle n}$ = Anzahl der Bereiche

${\displaystyle i}$ = Index des jeweiligen Bereiches

${\displaystyle l_{i}}$ = Längen der Bereiche

${\displaystyle F_{k}}$ = verallgemeinerte Kraft

${\displaystyle M_{k}}$ = verallgemeinertes Moment

${\displaystyle M_{bxi},M_{byi}}$ = Biegemomente

${\displaystyle M_{ti}}$ = Torsionsmoment

${\displaystyle F_{Li}}$ = Längskraft

${\displaystyle F_{Qxi},F_{Qyi}}$ = Querkräfte

${\displaystyle \kappa _{x},\kappa _{y}}$ = Schubkorrekturfaktor des jeweiligen Querschnitts

${\displaystyle q_{i}}$ = verallgemeinerte Arbeitswege

${\displaystyle s_{i}}$ = lokale Koordinaten mit ${\displaystyle 0\leq s_{i}\leq l_{i}}$

Der Satz von Castigliano kann auch zur Berechnung statisch unbestimmter Größen verwendet werden. In dieser speziellen Form wird er dann als Satz von Menabrea bezeichnet. Der Satz von Menabrea besagt, dass die partielle Ableitung der Formänderungsenergie nach einer statisch unbestimmten Lagerreaktion gleich Null ist.

${\displaystyle {\frac {\partial U^{*}}{\partial X_{i}}}=0}$ mit ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle X_{i}}$ = statisch unbestimmte Größen (deren Arbeitsweg jeweils Null sein muss)

${\displaystyle U^{*}=U^{*}(X_{1},\dots ,X_{n})}$ = innere Ergänzungsenergie

• Carlo Alberto Castigliano: Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques et ses applications. Nero, Turin 1879.
• Heinz Parkus: Mechanik der festen Körper. 2. Auflage. Springer-Verlag, Wien 1995, ISBN 3-211-80777-2
• Jens Wittenburg, Eduard Pestel: Festigkeitslehre – Ein Lehr- und Arbeitsbuch. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-42099-1
• Herbert Balke: Einführung in die Technische Mechanik – Festigkeitslehre. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-37890-7
• R. Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Elastostatik, 1. Aufl. Springer, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-44797-0
• Christian Spura: Technische Mechanik 2. Elastostatik, 1. Aufl. Springer, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-19978-4

• Einige Beispiele zum Satz von Castigliano