Satz von Cartan (Lie-Gruppen)

Torus

Eine Untergruppe einer Lie-Gruppe muss nicht notwendig abgeschlossen in der Topologie der Lie-Gruppe sein. Beispielsweise sind die Untergruppen des Torus

${\displaystyle G=\mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right)\right|\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\}}$

von der Form

${\displaystyle H_{\alpha }=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\alpha \theta }\end{matrix}}\right)\right|\theta \in \mathbb {R} \right\}}$

für ein ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$. Während man für ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} }$ eine abgeschlossene Untergruppe ${\displaystyle H_{\alpha }\subset G}$ erhält, liegen für irrationale Zahlen ${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Q} }$ die Untergruppen ${\displaystyle H_{\alpha }}$ dicht in ${\displaystyle G}$ und sind insbesondere nicht abgeschlossen.

Wenn die Untergruppe ${\displaystyle H}$ nicht abgeschlossen in ${\displaystyle G}$ ist, dann stimmt die von der Topologie von ${\displaystyle G}$ erzeugte Unterraumtopologie von ${\displaystyle H}$ nicht mit der Lie-Gruppen-Topologie von ${\displaystyle H}$ überein. Im obigen Beispiel sind für ${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Q} }$ die Untergruppen ${\displaystyle H_{\alpha }}$ zwar abstrakt (als Gruppen) isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$, die vom Torus induzierte Topologie stimmt aber nicht der Topologie der Lie-Gruppe ${\displaystyle \mathbb {R} }$ überein. Dagegen sind für ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} }$ die abgeschlossenen Untergruppen ${\displaystyle H_{\alpha }}$ auch als Lie-Gruppen isomorph zur Kreisgruppe ${\displaystyle S^{1}}$.

Satz von Cartan: Eine Untergruppe ${\displaystyle H}$ einer Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ ist genau dann eine eingebettete Unter-Lie-Gruppe, wenn sie abgeschlossen ist.

• John von Neumann: Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen. Math. Z. 30 (1929), no. 1, 3–42.
• Elie Cartan: La théorie des groupes finis et continus et l'Analysis Situs. Mémorial Sc. Math. XLII, pp. 1–61 (1930).