Sapogowsches Kriterium

Fichtenholz folgend kann man das Kriterium folgendermaßen formulieren:[3]

Gegeben sei eine monoton wachsende Folge ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left(a_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$ von positiven reellen Zahlen.

Dazu sei die Reihe

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)}}$

gebildet. Dann gilt:

(I) ${\displaystyle S}$ ist eine konvergente Reihe, wenn ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine beschränkte Folge ist. In diesem Falle ist auch die verwandte Reihe ${\displaystyle \textstyle S^{*}=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)}}$ konvergent.

(II) Ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ jedoch unbeschränkt, so ist ${\displaystyle S}$ divergent.

Mit dem sapogowschen Kriterium verknüpft ist ein weiteres, welches auf Niels Henrik Abel und Ulisse Dini zurückgeht und mit dessen Hilfe Fichtenholz den Beweis des sapogowschen Kriterium führt.[4] Dieses Kriterium tritt ebenfalls in Konrad Knopps Monographie Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen auf und wird dort als Satz von Abel und Dini bezeichnet. Der Darstellung von Knopp folgend lässt es sich folgendermaßen angeben:[5]

Gegeben seien eine Folge ${\displaystyle \left(d_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$ positiver reeller Zahlen sowie eine beliebige reelle Zahl ${\displaystyle \alpha }$. Die der Folge zugehörige Reihe ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{d_{n}}}$ sei divergent.

Dann gilt hinsichtlich der Partialsummenfolge ${\displaystyle \left(D_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }=\left(d_{1},d_{1}+d_{2},d_{1}+d_{2}+d_{3},\ldots \right)}$:

(a) Für ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ ist die dazu neu gebildete Reihe ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d_{n}}{{D_{n}}^{\alpha }}}}$ ebenfalls divergent.

(b) Für ${\displaystyle \alpha >1}$ jedoch ist ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d_{n}}{{D_{n}}^{\alpha }}}}$ konvergent.

Den Satz von Abel und Dini führt Knopp wiederum auf ein Resultat zurück, welches von Alfred Pringsheim stammt und bei Knopp als Satz von Pringsheim bezeichnet wird:[6]

Ist ${\displaystyle \left(d_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$ eine Folge positiver reeller Zahlen mit Partialsummenfolge ${\displaystyle \left(D_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$ und ist die der Folge zugehörige Reihe ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{d_{n}}}$ divergent, so ist für eine beliebige reelle Zahl ${\displaystyle \beta >0}$ die verwandte Reihe

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }{\frac {d_{m}}{D_{m}\cdot {D_{m-1}}^{\beta }}}}$

stets konvergent.

• N.H. Abel: Note sur le mémoire de Mr. L. Olivier No. 4 du second tome de ce journal, ayant pour titre „remarques sur les séries infinies et leur convergence“. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 3, 1828, S. 79–82 (MR1577677).
• U. Dini: Sulle serie a termini positivi. In: Annali delle Università Toscane. Band 9, 1867, S. 41–76 (italienisch, Wikisource [abgerufen am 16. September 2021]).
• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974.
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964, ISBN 3-540-03138-3 (MR0183997).
• Alfred Pringsheim: Allgemeine Theorie der Divergenz und Convergenz von Reihen mit positiven Gliedern. In: Mathematische Annalen. Band 35, 1890, S. 297–394.

1. G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. 1974, S. 304, S. 834
2. Obwohl im Geburtsjahr Sapogows die Sowjetunion noch nicht bestand, wird bei Fichtenholz Sapogow dennoch als „sowjetischer Mathematiker“ bezeichnet.
3. Fichtenholz, op. cit., S. 304
4. Fichtenholz, op. cit., S. 303–304
5. Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 1964, S. 299
6. Knopp, op. cit., S. 300