Sacharow-System

Gesucht sind zwei Lösungsfunktion ${\displaystyle v(x,t)\colon \Omega \times T\to \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle u(x,t)\colon \Omega \times T\to \mathbb {C} }$, welche das Sacharow-System in skalarer Form lösen. ${\displaystyle u}$ beschreibt die komplexe Einhüllende des stark oszillierenden elektrischen Feldes und ${\displaystyle v}$ die Fluktuation der Ionendichte.

Das Sacharow-System ist[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}i\partial _{t}u+\Delta _{x}u&=uv\\{\tfrac {1}{\alpha ^{2}}}\partial _{t}^{2}v-\Delta _{x}v&=\Delta _{x}(|u|^{2})\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \Delta _{x}}$ der Laplace-Operator bezüglich ${\displaystyle x}$ ist.

Die untere Gleichung lässt sich mit dem D'Alembert-Operator ${\displaystyle \Box ={\tfrac {1}{\alpha ^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{x}}$ kürzer hinschreiben

${\displaystyle \Box v=\Delta _{x}(|u|^{2}).}$

Eine physikalische Herleitung findet sich in ([1]) und ([3]).