S-Zahlenfunktion

Eine s-Zahlenfunktion ist eine in der Funktionalanalysis gebräuchliche Abbildung s, die für Banachräume E und F jedem Operator ${\displaystyle T\in {\mathcal {L}}(E,F)}$ eine Folge ${\displaystyle (s_{n}(T))}$ mit folgenden Eigenschaften zuordnet:

1. Monotonie: ${\displaystyle \|T\parallel =s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq ...\geq 0,\;T\in {\mathcal {L}}(E,F)}$
2. Additivität: ${\displaystyle s_{n}(S+T)\leq s_{n}(S)+\|T\parallel }$ für ${\displaystyle S,T\in {\mathcal {L}}(E,F)}$
3. Idealeigenschaft: ${\displaystyle s_{n}(RST)\leq \left\|R\right\|s_{n}(S)\|T\parallel ,\;T\in {\mathcal {L}}(E_{1},E),S\in {\mathcal {L}}(E,F),R\in {\mathcal {L}}(F,F_{1})}$
4. Rangeigenschaft: ${\displaystyle s_{n}(T)=0}$ für ${\displaystyle T\in {\mathcal {F}}(E,F)}$ mit ${\displaystyle \operatorname {rang} \,T<n}$
5. Normierung:${\displaystyle s_{n}(id:{l_{2}}^{n}\rightarrow {l_{2}}^{n})=1}$

Der Wert ${\displaystyle s_{n}(T)}$ wird als n-te s-Zahl von T bezeichnet.

Die Approximationszahlen, die Gelfandzahlen, die Kolmogorowzahlen, die Weylzahlen und die Tichomirovzahlen sind additive s-Zahlenfunktionen. Der prominenteste Vertreter der pseudo-s-Zahlenfunktionen sind die Entropiezahlen.[1]