Gleichgewicht (Systemtheorie)

Beispiel für ein eindimensionales System. Die x-Achse ist der Zustandsraum; die schwarzen Pfeile zeigen die Zeitentwicklung. Die zwei Nullstellen der Funktion f sind die Gleichgewichtszustände x₁ und x₂. Die Funktion f lässt sich als negativer Gradient eines Potentials E darstellen.

Für ein kontinuierliches dynamisches System, dessen Zeitentwicklung gegeben ist durch die Differentialgleichung

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x=f(x)}$

ist ein Gleichgewichtszustand ${\displaystyle x(t)=x^{*}}$ gegeben durch die Gleichgewichtsbedingung[3]

${\displaystyle f(x^{*})=0}$

da dann entsprechend die zeitliche Ableitung ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x^{*}=0}$ ist. Ein Gleichgewichtszustand ist also eine zeitunabhängige Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung bzw. eine Nullstelle der Funktion ${\displaystyle f}$.

Konvergenz zu einem stationären Zustand in einem zeitdiskreten makroökonomischen Stock-Flow Consistent Model.

Ein diskretes dynamisches System, welches nur diskrete Zeitschritte erlaubt, lässt sich durch eine iterierte Abbildung

${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\qquad n=0,1,2\ldots }$

beschreiben. Die Gleichgewichtsbedingung für den Gleichgewichtszustand ${\displaystyle x_{n}^{*}}$ ist

${\displaystyle x_{n}^{*}=f(x_{n}^{*}).}$

Der Gleichgewichtspunkt ${\displaystyle x_{n}^{*}}$ ist also ein zeitunabhängiger Fixpunkt der Abbildung ${\displaystyle f}$.

Anstelle der Nullstellen der Funktion ${\displaystyle f}$ zu betrachten, lässt sich für viele Systeme ein Potential ${\displaystyle E}$ finden, sodass ${\displaystyle f=-\nabla E}$ sich als negativer Gradient des Potentials schreiben lässt. Ein Gleichgewichtszustand entspricht dann einem Extrempunkt des Potentials. Bei einem thermodynamischen System ist dies ein geeignetes thermodynamisches Potential. Zum Beispiel eignet sich für ein System bei konstanter Temperatur und Druck, wie eine chemische Reaktion, die Gibbs freie Enthalpie, welche minimal ist, wenn das System im thermodynamischen Gleichgewicht ist.

Bei einem Hamiltonschen System lässt sich der Zustand ${\displaystyle x}$ durch die Ortskoordinaten ${\displaystyle q_{i}}$ und Impulse ${\displaystyle p_{i}}$ beschreiben. Für ein Gleichgewichtszustand gilt ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}q_{i}=0}$ und ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}p_{i}=0}$. Die Dynamik ist durch die kanonischen Gleichungen gegeben. Einsetzen der Gleichgewichtsbedingung ergibt, dass bei einem Gleichgewichtszustand die partiellen Ableitung der Hamiltonfunktion ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} p_{i}}}}$ und ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} q_{i}}}}$ Null sind, der Gleichgewichtszustand ist daher ein Extrempunkt des Potentials.

In der Mechanik wird der Ort mit den Koordinaten ${\displaystyle q_{i}}$ des Gleichgewichtszustandes auch Ruhelage oder statische Ruhelage genannt. Insbesondere erfährt ein Teilchen in der Ruhelage keinerlei Kraft. „Ruhelage“ ist in dieser Hinsicht etwas irreführend: Zwar wirkt auf ein Teilchen in der Ruhelage keine Kraft, das Teilchen muss sich dort allerdings keinesfalls in Ruhe befinden. Erst bei einem statischen Zustand, bei dem die Gleichgewichtsbedingung auch für die Impulse erfüllt ist, ist das Teilchen dort in Ruhe und das System im Gleichgewicht.

Der zeitliche Verlauf der Temperatur ${\displaystyle T}$ in einem ungeheizten Haus in Abhängigkeit von der Außentemperatur ${\displaystyle T_{\mathrm {A} }}$ lässt sich in einem einfachen Modell durch die Differentialgleichung

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}T=-k(T-T_{\mathrm {A} })}$

beschreiben. Die Konstante ${\displaystyle k=A\alpha /C}$ berechnet sich aus Fläche ${\displaystyle A}$, Wärmeübergangskoeffizient ${\displaystyle \alpha }$ der Hauswände sowie der Wärmekapazität ${\displaystyle C}$ der Luft. Die Funktion ${\displaystyle f(T)=-k(T-T_{\mathrm {A} })}$ auf der rechten Seite der Gleichung bestimmt die Dynamik des Systems. Für einen Gleichgewichtszustand ${\displaystyle T^{*}}$ gilt

${\displaystyle f(T^{*})=-k(T^{*}-T_{\mathrm {A} })=0}$.

Das System besitzt also einen Gleichgewichtszustand bei ${\displaystyle T^{*}=T_{\mathrm {A} }}$. Da die Ableitung

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} T}}(T^{*})=-k}$

negativ ist, ist der Gleichgewichtszustand ${\displaystyle T^{*}}$ stabil. Wenn das Haus wärmer bzw. kälter als die Umgebung ist, kühlt bzw. wärmt es sich solange auf, bis es diesen Gleichgewichtszustand erreicht. Auf diese Weise lassen sich durch die Bestimmung der Gleichgewichtspunkte und deren Stabilität Aussagen über das Verhalten des Systems treffen, ohne explizit den zeitlichen Verlauf ${\displaystyle T(t)}$ der Temperatur berechnen zu müssen. Die Integration der Gleichung, die für diese explizite Berechnung notwendig wäre, ist bei nichtlinearen Systemen im Allgemeinen nicht einfach oder analytisch nicht möglich.

Ein ebenes Pendel als Fahrgeschäft auf einer Kirmes

Gleichgewichtspositionen des ebenen Pendels.

Phasenraum des ebenen Pendels mit Konstanten = 1. Das Potential und der Phasenraum sind bezüglich des Winkels θ periodisch mit Periode 2π.

Ein ebenes Pendel ist ein mechanisches System, bei dem eine Masse mit einer Pendelstange fester Länge ${\displaystyle l}$ drehbar in einem Punkt befestigt ist. Der Zustand ${\displaystyle \textstyle x=(\theta ,\omega )}$ eines solchen Pendels zu einem festen Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ lässt sich durch einen Winkel ${\displaystyle \textstyle \theta \in [0,2\pi )}$ und der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \textstyle \omega \in \mathbb {R} }$ beschreiben. Die Bewegungsgleichung ist dann die autonome Differentialgleichung

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}\theta \\\omega \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\omega \\{\frac {g}{l}}\sin \theta \end{pmatrix}}}$

wobei die Konstante ${\displaystyle g}$ die Fallbeschleunigung ist.

Das System hat damit zwei Gleichgewichtspunkte ${\displaystyle x_{1}=(0,0)}$ und ${\displaystyle x_{2}=(\pi ,0)}$, welche die Gleichgewichtsbedingung erfüllen. Der Gleichgewichtspunkt ${\displaystyle x_{1}}$ bei einem Winkel von Null ist das stabile Gleichgewicht, wenn das Pendel keine Auslenkung und Geschwindigkeit besitzt. Der zweite Punkt ${\displaystyle x_{2}}$ ist das instabile Gleichgewicht, wenn das Pendel keine Geschwindigkeit besitzt und „auf dem Kopf“ steht. Im Phasenraum ist ${\displaystyle x_{1}}$ ein elliptischer Fixpunkt, der Punkt ${\displaystyle x_{2}}$ ein hyperbolischer Fixpunkt.

In einem statischen System, also einem System, bei dem das Pendel keine Geschwindigkeit besitzt, lässt sich die Bedingung für ein mechanisches Gleichgewicht mithilfe von Kräften und Momenten formulieren. So ist das Pendel im Gleichgewicht, wenn die Summe aller angreifenden Kräfte und Momente Null ist. In beiden Gleichgewichtspunkten ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$ wird die Gewichtskraft der Masse am Pendel durch die Kraft, mit der die Pendelstange die Masse am Drehpunkt festhält, vollständig ausgeglichen. Die resultierende Kraft und das resultierende Moment sind Null.

Phasenraum des Lotka-Volterra-Systems mit Konstanten = 1

Ein einfaches Modell der Wechselwirkung zwischen Räuber- und Beutepopulationen sind die Lotka-Volterra-Gleichungen. Sie beschreiben die zeitliche Entwicklung einer Anzahl an Beutetieren ${\displaystyle N_{1}}$ und Räubern ${\displaystyle N_{2}}$. Mit den jeweiligen Reproduktions- und Sterberaten ${\displaystyle \epsilon _{1}}$ bzw. ${\displaystyle \gamma _{2}}$ und ${\displaystyle \gamma _{1}}$ bzw. ${\displaystyle \epsilon _{2}}$ ergibt sich das Differentialgleichungssystem für einen Zustand ${\displaystyle x=(N_{1},N_{2})}$:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}N_{1}\\N_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}N_{1}\left(\epsilon _{1}-\gamma _{1}N_{2}\right)\\-N_{2}\left(\epsilon _{2}-\gamma _{2}N_{1}\right)\end{pmatrix}}}$

Das System besitzt einen stabilen Gleichgewichtspunkt ${\displaystyle x_{1}=(\epsilon _{2}/\gamma _{2},\epsilon _{1}/\gamma _{1})}$ und einen instabilen Gleichgewichtspunkt ${\displaystyle x_{2}=(0,0)}$. Im Zustand ${\displaystyle x_{1}}$ gibt es eine konstante Anzahl an Räubern und Beutetieren, die in einem ökologischen Gleichgewicht sind. Im Zustand ${\displaystyle x_{2}}$ sind beide Populationen ausgerottet.

Im Fall nicht-offener Systeme sind es nur innere Prozesse, die Einfluss auf die Zustandsgrößen des Systems haben. Die oben formulierte Gleichgewichtsbedingung ist in Systemen chemischer Reaktionen genau dann erfüllt, wenn die chemischen Potentiale ausgeglichen sind. Beispiel: Ein thermisch isolierter Drucktopf mit heißem Wasser und Wasserdampf. Die beiden beteiligten Reaktionen heißen Verdampfung und Kondensation. Verdampfung senkt die Temperatur und steigert den Druck, was weitere Verdampfung verlangsamt bzw. die Kondensation beschleunigt. Nach einiger Zeit stellt sich ein Gleichgewicht ein, in dem beide Reaktionen gleich schnell verlaufen und die Zustandsgrößen Druck, Temperatur und Dampfmenge konstant bleiben.

Für Systeme in dynamischem Gleichgewicht gilt der Virialsatz im jeweiligen Teilgebiet der Physik. Die explizite Kenntnis von Bahnen ist dafür nicht erforderlich.

Im Allgemeinen gibt es mehr als zwei Reaktionen, die gleichzeitig ablaufen. Das Gleichgewicht kann dann zwischen allen beteiligten Elementen des Systems bestehen oder sich auf ein Teilsystem beschränken. Sind die Prozesse des Teilsystems schnell gegenüber Austauschprozessen mit der Umgebung, so treten quasistatische Zustandsänderungen auf. Beispiel: Der langsam abkühlende Drucktopf. Die Abgabe von Wärme an die Umgebung senkt die Temperatur, den Druck und die Dampfmenge, aber nicht unabhängig voneinander, sondern der Systemzustand bleibt stets nahe an der Dampfdruckkurve.

Ob es in einem speziellen Fall eine Trennung in schnelle und langsame Prozesse gibt und wie die Änderungen der Zustandsgrößen zeitlich verlaufen, ist Gegenstand der Kinetik.

Existieren mehrere Kopplungsprozesse mit der Umgebung, so kann der Zustand des Systems konstant bleiben, indem sich diese mehr oder weniger zufällig in ihrer Wirkung aufheben. Fließgleichgewichte sind stets mit einer Produktion von Entropie verbunden, die für einen stationären Zustand abgeführt werden muss.[4]

Dominiert ein Kopplungsprozess die anderen Prozesse, so ist der Zustand des Teilsystems in der betroffenen Zustandsgröße festgelegt. Beispiele: Der Topf ist offen, der Druck ist auf den atmosphärischen Druck festgelegt, selbst große Heizleistung erhöht die Temperatur nicht über den Siedepunkt, solange noch Wasser im Topf ist. In der Elektrotechnik ist bei Anschluss eines Kleinverbrauchers an eine Spannungsquelle die Spannung festgelegt (geklemmt). Ein ökonomisches Beispiel ist die Buchpreisbindung (für Werke ohne Alternative, etwa spezielle Fachbücher).

Ohne enge Kopplung werden Systeme meist mit deutlichen Änderungen ihres Zustandes auf Änderungen in der Umgebung reagieren. Die Bezeichnung Fließgleichgewicht legt folgendes Beispiel nahe: Der Füllstand einer Badewanne ohne Stöpsel wird sich bei gegebenem Zufluss so einpegeln, dass der vom Pegel abhängige Abfluss dem Zufluss gleich ist. Fließgleichgewichte gibt es aber auch mit vielen anderen physikalischen und nicht-physikalischen Größen, etwa Energie oder Reichtum.

Die Flüsse über die Systemgrenze können auch dadurch ausgeglichen werden, indem das System durch interne Regelungsprozesse auf sie Einfluss nimmt. Das Teilsystem eines komplexen Systems, das den Regelungsmechanismus bildet, nennt die Systemtheorie allgemein Homöostat, das prototypische Beispiel ist der Thermostat.

Der Begriff Homöostase wurde im Zusammenhang mit lebenden Systemen geprägt, in denen meist viele Systemparameter einer Regelung unterliegen: pH-Wert, osmotischer Druck, Enzymkonzentrationen, Temperatur, Zellenzahl – um nur einige zu nennen.