Rollen

Besonders bekannt ist die Rollbewegung bei Fahrzeugrädern, wie sie bei Fahrrädern oder Autos vorkommt. Hier rollen annähernd kreisrunde Körper auf einer meist ebenen Oberfläche. Gleiches gilt auch für auf dem Boden rollende Flaschen oder auf einem Tisch rollende Weingläser, beispielsweise wenn sie umgestoßen werden. Auf einer schiefen Ebene[1] rollen Kugeln oder Zylinder alleine unter der Wirkung der Schwerkraft nach unten. Dies kommt vor allem bei Experimenten vor. Galilei beispielsweise nutzte sie zur Untersuchung der Bewegungsgesetze. Die Bewegung der Rollen in einem Flaschenzug kann als Rollbewegung aufgefasst werden, bei der die Rollen auf dem Seil abrollen. Gleiches gilt für die Bewegung eines Jo-Jos[2] das bezüglich der Schnur an der es hängt, eine Rollbewegung vollführt. Auch in einigen Maschinen kommt sie vor: Die Kugeln in einem Kugellager[3] rollen sowohl auf dem inneren als auch auf dem äußeren Ring ab. Entsprechendes gilt für alle anderen Wälzlager. In einem Planetengetriebe[4] bewegen sich mehrere Zahnräder. Bei einer der möglichen Betriebsarten steht das mittlere Rad – das Sonnenrad – und die anderen Räder – die Planetenräder – rollen um es herum. Auch bei zwei Zahnrädern mit ortsfesten Achsen[5] liegt eine Rollbewegung vor. Man kann sich eines der beiden Zahnräder als feststehend denken, das andere rollt dann auf dem Umfang ab, ähnlich wie beim Planetengetriebe. Bei manchen Verzahnungsarten rollen die einzelnen, sich berührenden, Zähne aufeinander ab, was als Wälzbewegung bezeichnet wird.

Voraussetzung für die Rollbewegung ist Haftreibung zwischen dem rollenden Körper und dem Untergrund. Wenn keine Reibung vorhanden ist, dann dreht sich der Körper auf der Stelle, falls nur ein Drehmoment auf das Rad wirkt oder er wird ohne Drehung verschoben falls nur eine Kraft auf seinen Schwerpunkt wirkt. Der erste Fall zeigt sich näherungsweise beim Anfahren mit Autos auf spiegelblanker Eisfläche. Die Haftkraft wird hervorgerufen durch eine Kraft die senkrecht zum Untergrund liegt: Die Normalkraft. Bei einer horizontalen Unterlage, entspricht die Normalkraft der Gewichtskraft sofern keine weiteren Kräfte wirken. Bei Sportwagen wird die Anpresskraft durch Spoiler erhöht, was auch die Haftung zwischen Rad und Straße erhöht. An der Berührstelle zwischen dem Körper und dem Untergrund tritt beim Rollen keine Relativbewegung auf, was eine Haftreibung bedingt. Wenn die Antriebskraft bei Fahrzeugen zu groß ist, dann tritt statt der Haftreibung Gleitreibung auf und das Rad dreht durch.[6]

Der Widerstand des gesamten Rades gegenüber der Rollbewegung wird durch die Rollreibung hervorgerufen. Diese entsteht bereits durch minimale Verformungen des Rades aufgrund der Anpresskraft auf den Untergrund und durch Verformung des Untergrundes. Ohne diese Anpresskraft verschwindet zwar die Rollreibung, aber auch die Haftreibung, sodass der Körper nicht mehr rollen kann. Wenn ein Rad das perfekt kreisrund ist, auf eine Oberfläche gedrückt wird, die absolut eben ist, dann entsteht am Berührpunkt theoretisch ein Druck, der jeden realen Körper verformt. Das Phänomen wird als Hertzsche Pressung[7] bezeichnet und ist insbesondere bei steifen Körpern wichtig, die sich nur wenig verformen, wie Eisenbahnräder oder Kugeln eines Kugellagers. Die Reifen von Autos und Fahrrädern sind üblicherweise mit Luft gefüllt und verformen sich stärker, sodass es zu einer ausgeprägten Berührfläche kommt, dem Reifenlatsch. Seine Fläche entspricht bei Autos etwa dem einer Postkarte. Diese Räder rollen dann nicht auf einem Radius der ihrem unverformten Außenradius entspricht. Die Entfernung zwischen Radmittelpunkt und Straßenoberfläche ist der statische Halbmesser (Statischer Radius) des Rades. Ein Punkt auf der Oberfläche der Autoreifens bewegt sich dann zunächst auf einem Radius der dem unverformten Radius entspricht, bis er auf die Straße trifft. Dann verringert sich der Radius allmählich bis auf den statischen Halbmesser. Das Rollen eines Autorades kann jedoch auch modellhaft beschrieben werden mit der Bewegung eines starren Körpers. Für diesen soll gelten, dass er während einer Umdrehung einen Weg zurücklegt der seinem Radius entspricht. Der Radius der unverformten Rades ist zu groß, der statische Halbmesser zu klein. Stattdessen wird der experimentell ermittelte dynamische Halbmesser benutzt.[8]

Die Kombination aus Verschiebung (Translation) und Rotation ergibt die Rollbewegung.

Die Kinematik ist ein Teil der Mechanik, der sich nur mit den Größen Zeit, Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung befasst. Kräfte, Massen und davon abgeleitete Größen, wie Energie und Leistung bleiben unberücksichtigt.

Das Rollen stellt eine Kombination dar, aus der Drehbewegung (Rotation) und der geraden Bewegung (Translation). Beim Rollen werden beide auf eine bestimmte Art kombiniert: Der rollende Körper legt während einer Umdrehung einen Weg zurück, der seinem Umfang entspricht. Außerdem hat der rollende Körper an den Punkten, an denen er den Untergrund berührt, keine Relativgeschwindigkeit zu ihm. Ein Punkt auf einem Rad setzt zu einem bestimmten Zeitpunkt auf der Straße auf und hebt danach wieder ab, ohne zwischendurch über die Straße zu rutschen oder zu schleifen. Ein Kreisel, dessen Achse senkrecht auf dem Boden steht, rollt also auch dann nicht, wenn er während einer Umdrehung um den Umfang verschoben wird, denn der Berührpunkt hat eine Relativgeschwindigkeit gegenüber dem Boden. Die Drehachse darf nicht senkrecht auf der Unterlage stehen. Außerdem muss es überhaupt eine Berührung geben, zwischen dem rollenden Körper und dem Untergrund. Wenn beispielsweise ein Fahrrad kopfüber auf Lenker und Sattel steht, wie beim Radwechsel üblich, dann rollt das (Hinter- oder Vorder-)Rad auch dann nicht, wenn es während einer Umdrehung einen passenden Weg zurücklegt, beispielsweise durch gleichzeitiges Verschieben des ganzen Fahrrades. Es rollt nicht auf dem Untergrund.

Geschwindigkeit beliebiger Punkte

Geschwindigkeiten im ruhenden Bezugssystem

Geschwindigkeitsverteilung auf der Mittelsenkrechten

Bei einem rollenden Körper hat jeder Punkt des Körpers eine andere Geschwindigkeit und Beschleunigung bezüglich des Untergrundes. Dies betrifft sowohl den Betrag als auch die Richtung beider Größen. Bei einem Fahrrad bewegt sich beispielsweise der vorderste Punkt des Rades schräg nach unten und der hinterste Punkt bewegt sich schräg nach oben, siehe Bild. Der Betrag ihrer Geschwindigkeiten entspricht aber dem √2-fachen des Mittelpunktes, denn die Diagonale in einem Quadrat hat die √2-fache Länge der Seiten. Der unterste Punkt des Rades, wo es die Straße berührt, hat eine Geschwindigkeit von null bezüglich der Straße, und der oberste Punkt bewegt sich nach vorne mit der doppelten Mittelpunktsgeschwindigkeit.

Der Betrag der Geschwindigkeiten hängt vom Bezugssystem ab: Wenn der Ursprung des Koordinatensystems sich im Mittelpunkt des Rades befindet und sich mit ihm mitbewegt, aber nicht mitrotiert, dann erscheint die Rollbewegung wie eine Reine Drehung um den Ursprung und jeder Punkt auf dem Umfang des Rades hat dieselbe Geschwindigkeit:

${\displaystyle v=r\cdot \omega =r\cdot 2\cdot \pi \cdot n}$

• Gyroskopischer Effekt – erklärt, warum rollende Münzen nicht umfallen
• Epizykloide – geometrische Figuren, die durch das Abrollen von Kreisen auf größeren Kreisen entstehen

1. Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Mechanik 1 – Klassische Mechanik, Springer, 10. Auflage, 2013, S. 307. 332.
2. Honerkamp, Römer: Klassische Theoretische Physik, Springer, 4. Auflage, 2012, S. 62.
3. Müller-slany: Aufgaben zur Technischen Mechanik, Springer, 2015, S. 250.
4. Müller-slany: Aufgaben zur Technischen Mechanik, Springer, 2015, S. 203.
5. Gross, Hauger, Wall: Technische Mechanik 3 – Kinetik, Springer, 13. Auflage, S. 282 f.
6. Dankert, Dankert: Technische Mechanik, Springer, 7. Auflage, 2013, S. 465, 573 f., 570.
7. Dankert, Dankert: Technische Mechanik, Springer, 7. Auflage, 2013, S. 294.
8. Breuer, Rohrbach-Kerl: Fahrzeugdynamik, Springer, 2015, S. 7 f.
9. Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Mechanik 2 – Analytische Mechanik, Springer, 9. Auflage, 2014, S. 12, 47.