Riesz-Raum

Ein Riesz-Raum ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur, die so beschaffen ist, dass sich die lineare und die Verbandsstruktur vertragen. Im Jahr 1928 wurde dieser Raum von Frigyes Riesz definiert[1] und trägt deshalb heute seinen Namen.

Definition

Sei $(X,+,\cdot )$ ein $\mathbb {R}$ -Vektorraum und $(X,\leq )$ eine halbgeordnete Menge.

Dann heißt $(X,+,\cdot ,\leq )$ ein Riesz-Raum wenn folgende Axiome erfüllt sind:

Für alle $f,g,h\in X$ gilt: $f\leq g\Rightarrow f+h\leq g+h$ .
Für alle $f,g\in X$ gilt: $0\leq a\in \mathbb {R}$ und $f\leq g\Rightarrow a\cdot f\leq a\cdot g$ .
$(X,\leq )$ ist ein Verband.

Weiter notiert man $x\vee y=\sup(x,y)$ und $x\wedge y=\inf(x,y)$ .

Weitere Begriffe

Für eine Menge $A\subset X$ ist $\sup(A)=\bigvee _{x\in A}x=\sup\{x\colon x\in A\}$ und $\inf(A)=\bigwedge _{x\in A}x=\inf\{x\colon x\in A\}$ .
Für ein Element $x\in X$ definiert man den positiven und negative Teil $x^{+}:=x\vee 0$ und $x^{-}:=(-x)^{+}=-x\vee 0$ .
Der Modulus von $x$ ist definiert als $|x|:=x\vee (-x)$ .
Zwei Elemente $x,y\in X$ sind disjunkt $x\perp y$ wenn für ihre Moduli $|x|\wedge |y|=0$ gilt.
Sei $M\subset X$ eine beliebige Menge und $M\neq \emptyset$ , dann definieren wir $M^{\perp }=\{x\in X\colon (\forall y\in M)\;x\perp y\}$ , das heißt die Menge der zu $M$ disjunkten Elemente.
Eine Teilmenge $M\subset X$ ist vollständig wenn $M\perp x$ impliziert das $x=0$ , das heißt es gilt $M^{\perp }=0$ .
Eine Teilmenge $M\subset X$ ist solide oder normal, falls für jedes $x\in E$ und ein beliebiges $y\in M$ mit $|x|\leq |y|$ auch $x\in M$ gilt.
Die Menge $M^{\perp \perp }$ nennt man das von $M$ generierte Band. Für eine einelementige Menge $\{x\}$ nennt man $\{x\}^{\perp \perp }$ das Prinzipalband.[2]

Anmerkungen

1. und 2. bedeuten $(X,+,\cdot ,\leq )$ ist ein geordneter Vektorraum.
Bei der Formulierung von 2. ist zu beachten, dass $\leq$ sich sowohl auf $\mathbb {R}$ , als auch auf $X$ bezieht, aus dem Zusammenhang ist meistens klar, welche Ordnungsrelation gemeint ist, so dass üblicherweise auf zusätzliche Indizes verzichtet wird.
2. lässt sich auch durch die schwächere Forderung $0\leq a$ und $\mathbf {0} \leq f\Rightarrow \mathbf {0} \leq a\cdot f$ ersetzen.
Bezeichnen $\land ,\lor$ die Verbandsoperationen, so ist es Konvention, dass $\land ,\lor$ stärker binden, als $+,\cdot$ (Klammerregel).

Erste Eigenschaften

Für $f,g,h\in X$ und $0\leq a\in \mathbb {R}$ gelten folgende Rechenregeln:

$(f+h)\lor (g+h)=(f\lor g)+h$ und $(f+h)\land (g+h)=(f\land g)+h$
$(af)\lor (ag)=a(f\lor g)$ und $(af)\land (ag)=a(f\land g)$
$(-f)\lor (-g)=-(f\land g)$ und $(-f)\land (-g)=-(f\lor g)$
Sei $|f|:=f\lor (-f)$ für $f\in X$ .

Dann gilt

f\lor g={\tfrac {1}{2}}(f+g+|f-g|)

und

f\land g={\tfrac {1}{2}}(f+g-|f-g|)

.

$(f\lor g)+(f\land g)=f+g$ und $(f\lor g)-(f\land g)=|f-g|$
$(f\lor g)\land h=(f\land h)\lor (g\land h)$ und $(f\land g)\lor h=(f\lor h)\land (g\lor h)$

Dies bedeutet jeder Riesz-Raum ist ein distributiver Verband.

Beispiele

Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ mit der üblichen Anordnung $\leq$ bilden einen Riesz-Raum.
Der $\mathbb {R} ^{n}$ mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
Die Menge der reellen Zahlenfolgen $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
Die Menge der reellen Nullfolgen $c_{0}$ mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
Für $1\leq p\leq \infty$ ist $l_{p}$ mit komponentenweiser Anordnung ein Riesz-Raum.
Die Menge der beschränkten reellen Folgen $l_{\infty }$ mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
Die Menge der stetigen Funktionen ${\mathcal {C}}[a,b]$ auf einem Intervall $[a,b]$ bildet mit punktweiser Anordnung einen Riesz-Raum.
Die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen ${\mathcal {C}}^{1}[a,b]$ auf einem Intervall $[a,b]$ bildet einen geordneten Vektorraum mit der punktweisen Anordnung, aber keinen Riesz-Raum.

Integrationstheorie

Riesz-Räume bieten Voraussetzungen für eine abstrakte Maß- und Integrationstheorie. Die zentrale Aussage in diesem Zusammenhang ist der Spektralsatz von Freudenthal. Dieser Satz garantiert für Riesz-Räume auf abstrakte Weise die Approximationseigenschaft von Funktionen durch Treppenfunktionen. Der Satz von Radon-Nikodým und die Poissonsche Summenformel für beschränkte harmonische Funktionen auf der offenen Kreisscheibe sind Spezialfälle des Spektralsatzes von Freudenthal. Dieser Spektralsatz war einer der Ausgangspunkte für die Theorie der Riesz-Räume.

Einzelnachweise

Riesz, Frigyes: Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires, Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928), 3, Zanichelli (1930) pp. 143–148
Martin R. Weber: Finite Elements in Vector Lattices. Hrsg.: De Gruyter, Deutschland. 2014, S. 8.

Literatur

Luxemburg, W.A.J. & Zaanen, A.C.: "Riesz spaces", North-Holland, 1971, ISBN 978-0444866264
V. I. Sobolev: Riesz space. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

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[1] Riesz, Frigyes: Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires, Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928), 3, Zanichelli (1930) pp. 143–148

[2] Martin R. Weber: Finite Elements in Vector Lattices. Hrsg.: De Gruyter, Deutschland. 2014, S. 8.