Riemannsche Submersion

Seien ${\displaystyle (M,g)}$ und ${\displaystyle (N,h)}$ zwei riemannsche Mannigfaltigkeiten und

${\displaystyle f\colon M\to N}$

eine Submersion.

Dann heißt ${\displaystyle f}$ eine riemannsche Submersion, wenn der Isomorphismus

${\displaystyle df\colon \mathrm {ker} (df)^{\perp }\rightarrow TN}$

eine Isometrie ist.

Eine Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ wirke isometrisch, frei und eigentlich diskontinuierlich auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,g)}$. Der Quotientenraum ${\displaystyle N=M/G}$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und man hat einen Isomorphismus ${\displaystyle df\colon \mathrm {ker} (df)^{\perp }\rightarrow TN}$.

Eine Riemannsche Metrik auf ${\displaystyle N}$ wird eindeutig festgelegt durch, die Bedingung, dass dieser Isomorphismus eine Isometrie sein soll. Sie wird als Quotientenmetrik bezeichnet. Mit dieser Metrik wird die Quotientenabbildung ${\displaystyle f\colon M\to N}$ eine Riemannsche Submersion.

Die Fubini-Study-Metrik auf dem komplex-projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}=S^{2n+1}/S^{1}}$ ist die Quotientenmetrik für die Standard-Wirkung der Kreisgruppe auf der „runden Sphäre“, also der Sphäre konstanter Schnittkrümmung +1. Mit dieser Metrik ist die Quotientenabbildung

${\displaystyle f\colon S^{2n+1}\to \mathbb {C} P^{n}}$

also eine Riemannsche Submersion.

Für ${\displaystyle n=1}$ ist das die Hopf-Faserung der Standardsphäre ${\displaystyle S^{3}}$: die Hopf-Abbildung

${\displaystyle H\colon S^{3}\to S^{2}}$

gibt eine Riemannsche Submersion.

Die Schnittkrümmung des Bildraumes einer riemannschen Submersion kann aus der Schnittkrümmung des Urbildraumes mit der O’Neill-Formel berechnet werden:

${\displaystyle K_{N}(X,Y)=K_{M}({\tilde {X}},{\tilde {Y}})+{\tfrac {3}{4}}|[{\tilde {X}},{\tilde {Y}}]^{V}|^{2}}$.

Hierbei sind ${\displaystyle X,Y}$ orthonormale Vektorfelder auf ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle {\tilde {X}},{\tilde {Y}}}$ ihre horizontalen Hochhebungen auf ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle [*,*]}$ bezeichnet den Kommutator von Vektorfeldern und ${\displaystyle Z^{V}}$ ist die Projektion des Vektorfeldes ${\displaystyle Z}$ auf die vertikale Distribution.

• Jeff Cheeger, David G. Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry. Revised reprint of the 1975 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. ISBN 978-0-8218-4417-5